Để giải phương trình bậc ba \( 8x^3 - 12x^2 + 6x - 28 = 0 \), ta có thể thử các phương pháp khác nhau như phương pháp tìm nghiệm bằng thử nghiệm hoặc sử dụng quy tắc phân tích.

Trước tiên, ta có thể thử tìm một nghiệm nguyên bằng cách thử các giá trị của x.

Giả sử thử với các giá trị nguyên như \( x = 2 \):

\[
8(2)^3 - 12(2)^2 + 6(2) - 28 = 8 \cdot 8 - 12 \cdot 4 + 12 - 28 = 64 - 48 + 12 - 28 = 0
\]

Vậy \( x = 2 \) là một nghiệm của phương trình.

Tiếp theo, ta sẽ phân tích đa thức \( 8x^3 - 12x^2 + 6x - 28 \) ra nhân tử có \( x - 2 \) là một trong những thừa số:

Ta sử dụng phương pháp chia đa thức để tìm thương:

1. Chia \( 8x^3 \) cho \( x - 2 \) dẫn tới \( 8x^2 \).
2. Nhân \( 8x^2 \) với \( x - 2 \): \( 8x^3 - 16x^2 \).
3. Trừ: \( (8x^3 - 12x^2) - (8x^3 - 16x^2) = 4x^2 \).
4. Hạ \( + 6x \) xuống, ta có \( 4x^2 + 6x \).
5. Chia \( 4x^2 \) cho \( x - 2 \) dẫn tới \( 4x \).
6. Nhân \( 4x \) với \( x - 2 \): \( 4x^2 - 8x \).
7. Trừ: \( (4x^2 + 6x) - (4x^2 - 8x) = 14x \).
8. Hạ \( - 28 \) xuống, ta có \( 14x - 28 \).
9. Chia \( 14x \) cho \( x - 2 \) dẫn tới \( 14 \).
10. Nhân \( 14 \) với \( x - 2 \): \( 14x - 28 \).
11. Trừ: \( (14x - 28) - (14x - 28) = 0 \).

Vậy kết quả chia là \( 8x^2 + 4x + 14 \).

Giờ ta có:

\[
8x^3 - 12x^2 + 6x - 28 = (x - 2)(8x^2 + 4x + 14)
\]

Bây giờ ta sẽ giải phương trình bậc hai \( 8x^2 + 4x + 14 = 0 \). Để giải phương trình này, ta sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 8 \), \( b = 4 \), và \( c = 14 \):

\[
b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 8 \cdot 14 = 16 - 448 = -432
\]

Vì \( b^2 - 4ac < 0 \), phương trình \( 8x^2 + 4x + 14 = 0 \) không có nghiệm thực.

Vậy phương trình \( 8x^3 - 12x^2 + 6x - 28 = 0 \) chỉ có một nghiệm thực là:

\[
x = 2
\]

Các nghiệm còn lại là nghiệm phức.