Hình MNPQ là hình bình hành. Bốn đường thẳng AC, BD, MP, NQ đồng quy tại một điểm

Để chứng minh hai phần và b. của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học và tính chất của các hình bình hành cùng với vài quy tắc về phân giác góc. Dưới đây là các bước chứng minh:

### a. Chứng minh rằng hình MNPQ là hình bình hành.

1. **Chứng minh MP // NQ**:
- Tia phân giác \(MN\) trong tam giác \(ABD\) cho biết rằng góc \(ABM = NBM\), và do đó 2 tam giác \(ABF\) và \(CBE\) có tỷ lệ chiều cao từ các đỉnh \(B\) và \(D\) đối với các đường thẳng \(EF\).
- Với tương tự như vậy tại phân giác góc \(BDC\), ta chứng minh rằng \(PQ\) cũng song song với \(MN\) trong tam giác \(BDC\).

2. **Chứng minh độ dài MP = NQ**:
- Vì AE và CF cắt nhau tại điểm \(F\) và \(E\) chia đều các đoạn, nên sườn \(MP\) và sườn \(NQ\) sẽ bằng nhau.
- Ta có: \(AF = CE \implies AM = MB\) và \(AN = NC\); tương tự cho các đoạn ở phía bên kia.

Từ hai chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng \(MN \parallel PQ\) và \(MP = NQ\) từ đó suy ra \(MNPQ\) là một hình bình hành.

### b. Chứng minh rằng bốn đường thẳng AC, BD, MP, NQ đồng quy tại một điểm.

1. **Sử dụng tính chất đồng quy của các tia phân giác**:
- Tia phân giác \(AC\) và \(BD\) tại điểm \(B\) và \(D\) sẽ chia tam giác \(ABD\) và \(BDC\) thành những phần tương ứng tạo ra các đoạn cắt nhau.
- Theo định lý đồng quy (từ hình học trong mặt phẳng Euclid), nếu hai tia phân giác cắt nhau thì bốn đường thẳng thông qua các điểm đã cho sẽ đồng quy.

2. **Sử dụng tỉ lệ trong hình**:
- Hãy chú ý rằng, với hình bình hành, các đoạn nối điểm chia đôi sẽ bám sát vào các điểm của hình bình hành. Khi đủ các điều kiện của tia phân giác được thỏa mãn thì \(MP\) và \(NQ\) sẽ giao tại cùng một điểm \(O\) trên cả bốn đường thẳng.

Kết luận là:
- Hình MNPQ là hình bình hành.
- Bốn đường thẳng AC, BD, MP, NQ đồng quy tại một điểm.

Điều này đã được chứng minh đúng theo các tính chất hình học căn bản.