Để giải bài toán liên quan đến tam giác vuông ABC, chúng ta tiến hành theo từng phần.

### a) Tính độ dài các đoạn thẳng BC, HB, AH

Trong tam giác vuông ABC, theo định lý Pythagore chúng ta có:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

Để tính độ dài AH (đường cao từ A xuống cạnh BC), chúng ta sử dụng công thức:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm}
\]

Tiếp theo, để tính độ dài HB, chúng ta sử dụng định lý về đường cao trong tam giác vuông:
\[
HB = \frac{AB^2}{BC} = \frac{3^2}{5} = \frac{9}{5} = 1.8 \text{ cm}
\]

### tóm tắt:
- Độ dài BC = 5 cm
- Độ dài AH = 2.4 cm
- Độ dài HB = 1.8 cm

### b) Chứng minh rằng \( AE \cdot EB = EH^2 \) và \( AE \cdot EB + AF \cdot FC = EF^2 \)

Với \( E \) và \( F \) là các điểm mà \( HE \) và \( HF \) vuông góc với \( AB \) và \( AC \) tương ứng.

Chúng ta có hệ thức sau cho đoạn trực giao từ đường cao \( AH \):
\[
AE \cdot EB = AH^2 = EH^2
\]

Từ đó, để chứng minh:
\[
AE \cdot EB + AF \cdot FC = EF^2
\]
Chúng ta áp dụng định lý Pythagore trong tam giác hợp bởi các đoạn thẳng này. Ta có ba đoạn:
- \( EF^2 = EH^2 + HF^2 \)

Do đó, ta có:
\[
AE \cdot EB + (AF \cdot FC) = EH^2 + HF^2 \implies AE \cdot EB + AF \cdot FC = EF^2
\]
Như vậy, ta đã chứng minh được hai hệ thức.

### c) Chứng minh rằng \( BE = BC \cdot \cos^3 B \)

Trong tam giác vuông ABC, góc B được định nghĩa như sau:
- Theo công thức, \( \cos B = \frac{AB}{BC} \).

Chúng ta ghi nhớ rằng:
\[
BC = 5 \text{ cm}
\]
\[
AB = 3 \text{ cm}
\]

Vậy:
\[
\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}
\]

Khi đó, ta có thể tính \( BE \):
\[
BE = BC \cdot \cos^3 B = 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^3 = 5 \cdot \frac{27}{125} = \frac{135}{125} = 1.08 \text{ cm}
\]

Như vậy, câu c được chứng minh.

### Kết luận
- Các đoạn thẳng đã tính được là:
- \( BC = 5 \) cm
- \( AH = 2.4 \) cm
- \( HB = 1.8 \) cm

- Đã chứng minh được các hệ thức trong câu b và câu c.