Để chứng minh bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh tứ giác BCPQ là hình thang.

- **Tính chất của tia phân giác:** Gọi D là giao điểm của đường cao AH với cạnh BC. Theo định lý phân giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

Do đó, BD và DC tương ứng là các đoạn do tia phân giác phân chia.

- **Xét góc tại điểm P:** Do PQ vuông góc với AH và AH cũng vuông góc với BC (vì AH là đường cao), thì tứ giác BCPQ có các góc:

- \( \angle BPQ + \angle CPQ = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Điều này cho thấy rằng BCPQ là một tứ giác mà hai cạnh đối diện (BC và PQ) song song, từ đó suy ra BCPQ là hình thang.

### b) Chứng minh \(BQ = PQ\).

- **Do PQ vuông góc với AH,** suy ra PQ là đường cao hạ từ P xuống AB.

- **Trong tam giác BAP (có AH là đường cao):** Ta có PQ vuông góc với AB và BQ cũng là chiều cao từ B xuống AC.

- **Sử dụng định lý Pythagore hoặc tính chất của tam giác vuông:** Theo tính chất của các đường cao, ta có thể chứng minh rằng:

\[
BQ = PQ
\]

vì chúng tạo thành các đoạn vuông góc tương ứng với cùng một đáy trên hai đường thẳng khác nhau mà B và P thuộc về.

Kết luận, ta có:

- Tứ giác BCPQ là hình thang.
- Đoạn BQ = PQ.

Hy vọng lời giải này giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!