Để chứng minh rằng \( a = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \) chia hết cho 2, 6 và 30, ta sẽ phân tích từng trường hợp một.

### 1. Chứng minh \( a \) chia hết cho 2
Tổng \( a \) có thể viết lại như sau:
\[
a = 2(1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{99})
\]
Rõ ràng \( a \) có dạng \( 2 \times \text{(một số nguyên)} \), do đó \( a \) chia hết cho 2.

### 2. Chứng minh \( a \) chia hết cho 6
Tổng \( a \) bằng công thức tổng của một cấp số nhân:
\[
a = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} = 2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 2} = 2(2^{100} - 1)
\]

Để chứng minh \( a \) chia hết cho 6, ta sẽ kiểm tra điều kiện chia hết cho cả 2 và 3.

- **Chia hết cho 2:** Chúng ta đã chứng minh điều này ở trên.
- **Chia hết cho 3:** Ta cần chứng minh \( 2^{100} - 1 \) chia hết cho 3. Tính \( 2^{100} \mod 3 \):
- Ta thấy \( 2 \equiv 2 \mod 3 \)
- \( 2^2 \equiv 1 \mod 3 \)
- Do đó, \( 2^{100} = (2^2)^{50} \equiv 1^{50} \equiv 1 \mod 3 \)
- Suy ra, \( 2^{100} - 1 \equiv 0 \mod 3 \)

Vậy \( 2^{100} - 1 \) chia hết cho 3, và kết hợp với chia hết cho 2, ta có \( a \) chia hết cho 6.

### 3. Chứng minh \( a \) chia hết cho 30
Để chứng minh \( a \) chia hết cho 30, ta cần kiểm tra điều kiện chia hết cho 2, 3 và 5.

- **Chia hết cho 2:** Đã được chứng minh.
- **Chia hết cho 3:** Đã được chứng minh.
- **Chia hết cho 5:** Ta cần chứng minh \( 2^{100} - 1 \) chia hết cho 5. Tính \( 2^{100} \mod 5 \):
- Ta thấy \( 2 \equiv 2 \mod 5 \)
- \( 2^1 \equiv 2 \)
- \( 2^2 \equiv 4 \)
- \( 2^3 \equiv 3 \)
- \( 2^4 \equiv 1 \mod 5 \) (chu kỳ là 4)

Để tìm \( 2^{100} \mod 5 \):
\[
100 \mod 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2^{100} \equiv 1 \mod 5
\]
Suy ra, \( 2^{100} - 1 \equiv 0 \mod 5 \).

Vậy \( 2^{100} - 1 \) chia hết cho 5, và kết hợp với chia hết cho 2 và 3, ta có \( a \) chia hết cho 30.

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh được rằng \( a \) chia hết cho 2, 6 và 30.