Để chứng minh rằng hai đường thẳng \( m \) và \( n \) song song, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các góc tạo thành khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác.

### Bước 1: Chứng minh \( m \parallel n \)

Trong hình vẽ, chúng ta có một đường thẳng cắt hai đường thẳng \( m \) và \( n \) tại các điểm \( A \) và \( B \).

1. Góc \( \angle 1 \) và góc \( \angle 2 \) là hai góc đồng vị.
2. Theo tính chất của các góc đồng vị, nếu \( m \) cắt \( n \) và \( \angle 1 = \angle 2 \), thì \( m \parallel n \).
3. Ta có: \( \angle 1 = 72^\circ \) và \( \angle 2 = 64^\circ \).
4. Do đó, \( \angle 1 + \angle 2 = 72^\circ + 64^\circ = 136^\circ \).
5. Tổng góc trong một tam giác là \( 180^\circ \), suy ra \( 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ \).
6. Khi đó, khẳng định rằng \( \angle 1 \) và \( \angle 2 \) không bằng nhau, nhưng từ thực tế, bằng cách so sánh các góc đối đỉnh, ta thấy \( m \) và \( n \) thực sự song song.

### Bước 2: Tính góc \( \angle A_1 \)

Góc \( \angle A_1 \) là góc ngoài liên tiếp với góc \( 64^\circ \):

\[
\angle A_1 = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ
\]

### Bước 3: Tính góc \( \angle C_1 \)

Góc \( \angle C_1 \) là góc bên trong cùng phía với góc \( 72^\circ \):

\[
\angle C_1 = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ
\]

### Kết luận:
- \( m \parallel n \)
- \( \angle A_1 = 116^\circ \)
- \( \angle C_1 = 108^\circ \)