Để phân tích thành nhân tử biểu thức \(x^2 + 4x + 4y^2 - 4(x + 2y) + 3\), ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

1. **Đơn giản hóa biểu thức**:
\[
x^2 + 4x + 4y^2 - 4x - 8y + 3
\]
Bỏ đi các hạng tử giống nhau:
\[
x^2 + 4y^2 - 8y + 3
\]

2. **Nhóm các hạng tử**:
Nhóm các hạng tử có chứa \(y\):
\[
x^2 + 4(y^2 - 2y) + 3
\]

3. **Thay thế và hoàn thành bình phương**:
Để hoàn thành bình phương cho \(y^2 - 2y\), ta thêm và bớt 1:
\[
y^2 - 2y + 1 - 1 = (y - 1)^2 - 1
\]
Thay vào biểu thức:
\[
x^2 + 4((y - 1)^2 - 1) + 3
\]
\[
= x^2 + 4(y - 1)^2 - 4 + 3
\]
\[
= x^2 + 4(y - 1)^2 - 1
\]

4. **Viết dưới dạng hoàn chỉnh**:
Ta có:
\[
x^2 + 4(y - 1)^2 - 1
\]
= \( (x + 0)^2 + 4(y - 1)^2 - 1 \)

5. **Kết quả cuối cùng**:
Một cách viết dưới dạng tích nhân tử sẽ là:
\[
(x^2 - 1) + 4(y - 1)^2
\]

Biểu thức cho thấy đây là một hình học mặt phẳng: một đường tròn (khi nhắc đến) và vẽ nó trong không gian 3 chiều.