Để chứng minh hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta viết lại hệ phương trình như sau:

\[
1) -my = 2 \quad (1)
\]
\[
2) mx + 2y = 1 \quad (2)
\]

Từ phương trình (1), ta có:
\[
y = -\frac{2}{m} \quad (m \neq 0)
\]

Thay giá trị của \(y\) vào phương trình (2):
\[
mx + 2\left(-\frac{2}{m}\right) = 1
\]

Giải tiếp, ta được:
\[
mx - \frac{4}{m} = 1
\]
\[
mx = 1 + \frac{4}{m}
\]
\[
x = \frac{1}{m} + \frac{4}{m^2} \quad (m \neq 0)
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình có dạng:
\[
x = \frac{1}{m} + \frac{4}{m^2}, \quad y = -\frac{2}{m}
\]

Như vậy, với mỗi giá trị của \(m \neq 0\), hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất \((x, y)\).

Tiếp theo, ta tìm \(m\) sao cho nghiệm \((x, y)\) thỏa mãn:
\[
3x + 2y - 1 \geq 0
\]

Thay vào điều kiện:
\[
3\left(\frac{1}{m} + \frac{4}{m^2}\right) + 2\left(-\frac{2}{m}\right) - 1 \geq 0
\]

Khai triển:
\[
\frac{3}{m} + \frac{12}{m^2} - \frac{4}{m} - 1 \geq 0
\]
\[
\frac{12 - m - 4m}{m^2} \geq 1
\]
\[
\frac{12 - m}{m^2} \geq 1
\]

Biến đổi bất đẳng thức này:
\[
12 - m \geq m^2
\]
\[
m^2 + m - 12 \leq 0
\]

Giải bất phương trình bậc hai:
\[
(m - 3)(m + 4) \leq 0
\]

Từ đây, ta tìm khoảng nghiệm:
- Nghiệm của phương trình là \(m = 3\) và \(m = -4\).
- Bất phương trình này có nghiệm trong khoảng:
\[
-4 \leq m \leq 3
\]

Vậy giá trị của \(m\) để nghiệm \((x, y)\) thỏa mãn \(3x + 2y - 1 \geq 0\) là:
\[
m \in [-4, 3].
\]