Chứng minh rằng a^5b - ab^5 chia hết cho 30 với mọi a, b

Để chứng minh rằng \( a^5b - ab^5 \) chia hết cho 30 với mọi số nguyên \( a \) và \( b \), ta cần chứng minh rằng \( a^5b - ab^5 \) chia hết cho 2, 3 và 5 (bởi vì \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)).

**Bước 1: Chứng minh chia hết cho 2.**

Xét \( a^5b - ab^5 \):
- Nếu \( a \) là số chẵn, thì \( a^5 \) cũng chẵn, do đó \( a^5b \) chẵn. Còn \( ab^5 \) cũng chẵn (vì \( a \) chẵn), nghĩa là \( a^5b - ab^5 \) chẵn.
- Nếu \( a \) là số lẻ, thì \( b \) có thể là số lẻ hoặc chẵn.
- Nếu \( b \) chẵn, thì \( ab^5 \) chẵn, và \( a^5b \) là lẻ, nghĩa là \( a^5b - ab^5 \) chẵn.
- Nếu cả \( a \) và \( b \) đều là số lẻ, thì \( a^5b \) và \( ab^5 \) đều là lẻ, nên \( a^5b - ab^5 \) là số chẵn.

Từ đó, trong mọi trường hợp, \( a^5b - ab^5 \) chia hết cho 2.

**Bước 2: Chứng minh chia hết cho 3.**

Xét \( a^5b - ab^5 \):
- Theo định lý Fermat, \( a^5 \equiv a \, (\text{mod} \, 3) \) và \( b^5 \equiv b \, (\text{mod} \, 3) \). Do đó:
\[
a^5b \equiv ab \, (\text{mod} \, 3) \quad \text{và} \quad ab^5 \equiv ab \, (\text{mod} \, 3)
\]
- Vậy:
\[
a^5b - ab^5 \equiv ab - ab \equiv 0 \, (\text{mod} \, 3)
\]
Điều này chứng tỏ rằng \( a^5b - ab^5 \) chia hết cho 3.

**Bước 3: Chứng minh chia hết cho 5.**

Xét \( a^5b - ab^5 \):
- Tương tự như trên, theo định lý Fermat, \( a^5 \equiv a \, (\text{mod} \, 5) \) và \( b^5 \equiv b \, (\text{mod} \, 5) \). Do đó:
\[
a^5b \equiv ab \, (\text{mod} \, 5) \quad \text{và} \quad ab^5 \equiv ab \, (\text{mod} \, 5)
\]
- Vậy:
\[
a^5b - ab^5 \equiv ab - ab \equiv 0 \, (\text{mod} \, 5)
\]
Điều này chứng tỏ rằng \( a^5b - ab^5 \) chia hết cho 5.

**Kết luận:**
Như vậy, \( a^5b - ab^5 \) chia hết cho 2, 3, và 5, tức là chúng chia hết cho 30. Vậy, với mọi số nguyên \( a \) và \( b \), \( a^5b - ab^5 \) chia hết cho 30.