Để giải bài tập này, ta thực hiện các bước như sau:

### a. Chứng minh \( AM \cdot AB = AN \cdot AC \)

1. **Xét tam giác \( ABC \)** với đường cao \( AH \) từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \).
2. **Gọi \( M \) và \( N \)** lần lượt là hình chiếu của \( H \) lên \( AB \) và \( AC \).
3. **Áp dụng định lý Sin**: Trong tam giác \( AMH \) và tam giác \( ANH \), ta có:

- \( \frac{AM}{\sin C} = \frac{AH}{\sin B} \) (1)
- \( \frac{AN}{\sin B} = \frac{AH}{\sin C} \) (2)

4. Từ (1) và (2), ta có:
\[
AM \cdot \sin B = AH \quad \text{và} \quad AN \cdot \sin C = AH
\]
5. **Kết hợp lại**:
\[
AM \cdot \sin B = AN \cdot \sin C
\]
Chia hai vế cho \( AB \) và \( AC \), ta có:
\[
AM \cdot AB = AN \cdot AC
\]

### b. Chứng minh \( \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{\sin^2 B \cdot \sin^2 C}{\sin A} \)

1. **Diện tích tam giác**:
- Diện tích tam giác \( ABC \):
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A
\]
- Diện tích tam giác \( AMN \):
- Sử dụng định nghĩa diện tích theo chiều cao:
\[
S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot \sin A
\]

2. **Thay biểu thức**: Từ định lý Sin, có:
- \( AM = AB \cdot \frac{\sin C}{\sin A} \)
- \( AN = AC \cdot \frac{\sin B}{\sin A} \)

3. **Thay vào diện tích**:
\[
S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot (AB \cdot \frac{\sin C}{\sin A}) \cdot (AC \cdot \frac{\sin B}{\sin A}) \cdot \sin A
\]
\[
= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \frac{\sin B \cdot \sin C}{\sin A}
\]

4. **Tính tỷ lệ**:
\[
\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \frac{\sin B \cdot \sin C}{\sin A}}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A} = \frac{\sin B \cdot \sin C}{\sin A}
\]
Nâng bình phương hai vế:
\[
\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{\sin^2 B \cdot \sin^2 C}{\sin A}
\]

### Kết luận
Ta đã chứng minh thành công các kết quả được yêu cầu trong bài toán.