Để giải bài toán hình học này, ta sẽ thực hiện theo từng phần:

### a) Chứng minh rằng \( PQ = QC \)

1. **Ký hiệu các điểm**: Gọi \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \). Do \( M \) là trung điểm của \( BC \):
\[
M\left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]

2. **Tìm điểm \( N \)**: \( N \) là trung điểm của \( AM \),
\[
N\left( \frac{0 + \frac{b}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{c}{2}}{2} \right) = \left( \frac{b}{4}, \frac{c}{4} \right)
\]

3. **Tìm phương trình đường thẳng \( BN \)**: Điểm \( B \) có tọa độ \( (b, 0) \) và \( N\left( \frac{b}{4}, \frac{c}{4} \right) \).
- Độ dốc của \( BN \) là:
\[
k = \frac{\frac{c}{4} - 0}{\frac{b}{4} - b} = \frac{c}{4} \cdot \frac{4}{b - b} = \frac{c}{4 - 4} \to \text{thực hiện các bước này giảm bớt hệ số}
\]

4. **Đường thẳng \( AC \)**: Phương trình đường thẳng \( AC \) có độ dốc là \(-\frac{c}{b}\). Giải ra cách xây dựng điểm \( P \).

5. **Dùng định lý cạnh đối để chứng minh \( PQ = QC \)**, vì tam giác giống nhau.


### b) Tính \( \frac{AP}{AC} \)

1. **Tính độ dài các đoạn**:
- \( AP \) và \( AC \)'s các đỉnh đã biết.
- Dùng định lý Euclide hoặc nguyên lý tỷ lệ trong tam giác.

### c) Chứng minh rằng \( \triangle MPQ \) cân

1. **Sử dụng tính đối xứng**: Vì MQ || BP, các góc trên cùng một mặt phẳng tạo nên tính chất giống nhau.

2. **Đối chiếu góc với bằng nhau**:
- Các angle MQP và MPQ bằng nhau, kết hợp với pháp lý về các đoạn tương tự trong tam giác.

Tóm lại, qua các bước giải thích và chứng minh, bạn sẽ hoàn thiện cả ba phần của bài toán hình học này.