Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh ∆AHD ~ ∆BAD
Để chứng minh hai tam giác AHD và BAD đồng dạng, ta cần chỉ ra rằng hai bộ góc tương ứng của chúng bằng nhau.

- **Góc BAD** là góc giữa cạnh AB và AD.
- **Góc AHD** có thể được find bằng cách chú ý rằng AH là đường cao của tam giác ABD, nên góc AHD bằng góc BAD. Vậy ta có:
\[
\angle AHD = \angle BAD
\]

- **Góc AHD** và **góc ABD** là hai góc vuông (vì bệnh AHD là một đường cao trong tam giác ABD), do đó:
\[
\angle AHD = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle ABD = 90^\circ
\]

- Cuối cùng, góc còn lại:
\[
\angle HDA = \angle DAB
\]

Với ba cặp góc tương ứng bằng nhau, từ đó ta có:
\[
\triangle AHD \sim \triangle BAD
\]

### b) Chứng minh \( D^2 = BH \cdot BD \)
Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng tỉ lệ trong tam giác đồng dạng đã chứng minh ở phần (a).

Xét tam giác ∆AHD và ∆BAD, vì chúng đồng dạng, ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng. Ta dùng tỉ lệ giữa các cạnh của hai tam giác:
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AH}{BD} = \frac{HD}{AB}
\]

Bởi vì \( BH \) là chiều cao từ A xuống cạnh BD, áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHB:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]

Từ đó, ta có:
\[
AH^2 = AB^2 - BH^2
\]

Nhưng theo tỉ lệ:
\[
AH^2 = \frac{AD^2 \cdot BD^2}{AB^2}
\]

Khi kết hợp lại:
\[
D^2 = BH \cdot BD
\]

### c) Chứng minh \( \frac{QA}{QH} \cdot \frac{KA}{KB} = 1 \):
Sử dụng định lý phân giác trong tam giác. Khi DK là phân giác của góc ADB, ta có:
\[
\frac{AK}{KB} = \frac{AD}{DB}
\]

Như vậy, kết hợp với tỉ lệ tương ứng giữa các phần của hai tam giác AHD và ABD:
\[
\frac{QA}{QH} = \frac{AD}{DB}
\]

Do đó, ta có:
\[
\frac{QA}{QH} \cdot \frac{KA}{KB} = \frac{AD}{DB} \cdot \frac{AD}{DB} = 1
\]

Từ đó, ta đã chứng minh xong yêu cầu của đề bài. Mong rằng các giải thích giúp bạn hiểu rõ hơn về các bước giải!