Để giải bài này, trước hết, chúng ta cần xác định các vị trí của các điểm trong không gian.

### 1. Tìm các điểm trong không gian
- Giả sử các điểm A, B, C, D trong không gian 3D có tọa độ như sau:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(1, 0, 0) \)
- \( C(0, 1, 0) \)
- \( D(0, 0, 1) \)

### 2. Xác định các điểm M và N
- Điểm M nằm trên cạnh AC, theo điều kiện \( AC = 3AM \), ta có:
- \( AC = C - A = (0, 1, 0) - (0, 0, 0) = (0, 1, 0) \)
- \( AM = \frac{AC}{3} = \frac{1}{3}(0, 1, 0) = (0, \frac{1}{3}, 0) \)
- Vậy \( M = A + AM = (0, 0, 0) + (0, \frac{1}{3}, 0) = (0, \frac{1}{3}, 0) \)

- Điểm N nằm trên cạnh AD với điều kiện \( AN = \frac{2}{3}AD \):
- \( AD = D - A = (0, 0, 1) - (0, 0, 0) = (0, 0, 1) \)
- \( AN = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3}(0, 0, 1) = (0, 0, \frac{2}{3}) \)
- Vậy \( N = A + AN = (0, 0, 0) + (0, 0, \frac{2}{3}) = (0, 0, \frac{2}{3}) \)

### 3. Điểm O trong tam giác BCD
Ta có ba điểm B, C, D:
- \( B(1, 0, 0) \)
- \( C(0, 1, 0) \)
- \( D(0, 0, 1) \)

Điểm O cần phải nằm trong tam giác BCD, mà tọa độ của O sẽ được xác định bằng phương pháp chọn ngẫu nhiên (hoặc theo một tỉ lệ nhất định).

### 4. Phương trình mặt phẳng (OMN)
Khi đã biết tọa độ của M và N, ta có thể xác định mặt phẳng chứa M, N và O. Mặt phẳng có thể biểu diễn bằng phương trình:
\[ ax + by + cz + d = 0 \]
Trong đó, a, b, c là các hệ số xác định bằng cách sử dụng các điểm M, N, O.

### 5. Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng (OMN)
- Để tìm giao điểm của BC với mặt phẳng (OMN), ta cần tìm phương trình của đường thẳng BC và sau đó thay vào phương trình mặt phẳng và giải.
- Tương tự, ta cần tìm phương trình của đường thẳng BD và thực hiện các bước tương tự.

### 6. Hình vẽ
Hình vẽ sẽ là tứ diện ABCD cùng với các điểm M, N và mặt phẳng (OMN).

Để xây dựng hình vẽ, bạn có thể sử dụng phần mềm vẽ đồ họa 3D, như GeoGebra, hoặc tự tay vẽ nó trên giấy để diễn đạt vị trí của các điểm M, N, O, và các cạnh của tứ diện.

### Tổng kết
Bạn có thể tham khảo thêm một số phần mềm đồ họa để thực hiện hình vẽ trong không gian và giải quyết các giao điểm theo quy trình đã nêu trên. Nếu bạn có cần thiết các tọa độ cụ thể hay phương trình chi tiết hơn, hãy hỏi thêm thông tin!