Để giải bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu với việc sử dụng các ký hiệu phù hợp cho các điểm trong tứ diện ABCD.

1. **Thay tọa độ các điểm** trong không gian:
- Giả sử điểm A có tọa độ \( A(0, 0, 0) \),
- Điểm B có tọa độ \( B(b_1, b_2, b_3) \),
- Điểm C có tọa độ \( C(c_1, c_2, c_3) \),
- Điểm D có tọa độ \( D(d_1, d_2, d_3) \).

2. **Tìm tọa độ điểm M**:
- Theo đề bài, \( AC = 3AM \) tức là \( AM = \frac{1}{3}AC \).
- Giả sử tọa độ điểm M trên AC có thể viết dưới dạng:
\[
M = \frac{2}{3}A + \frac{1}{3}C = \frac{1}{3}(C) = \left( 0 + \frac{1}{3}(c_1), 0 + \frac{1}{3}(c_2), 0 + \frac{1}{3}(c_3) \right) = \left( \frac{c_1}{3}, \frac{c_2}{3}, \frac{c_3}{3} \right)
\]

3. **Tìm tọa độ điểm N**:
- Với \( AN = \frac{2}{3}AD \), ta có \( N = \frac{1}{3}A + \frac{2}{3}D = \frac{1}{3}(D) = \left( 0 + \frac{2}{3}d_1, 0 + \frac{2}{3}d_2, 0 + \frac{2}{3}d_3 \right) = \left( \frac{2d_1}{3}, \frac{2d_2}{3}, \frac{2d_3}{3} \right) \)

4. **Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng (OMN)**:
- Để xác định mặt phẳng (OMN) chứa các điểm O, M, N, ta cần vector pháp tuyến của nó.
- Xét vector OM, ON, và có thể sử dụng tích hữu hướng của chúng.
- Từ đó, lập phương trình mặt phẳng và tìm giao điểm của BC với mặt phẳng này bằng phương pháp thay thế.

5. **Tìm giao điểm của BD với mặt phẳng (OMN)**:
- Tương tự, xét đoạn thẳng BD và lập phương trình cho đường thẳng này.
- Kiểm tra các phương trình với mặt phẳng (OMN) để xác định giao điểm.

Tính toán trên có thể phức tạp và cần các bước hình học cụ thể hơn dựa trên sự tương tác của các điểm trong không gian, sử dụng công thức phương trình mặt phẳng và thanh phân tích đại số để bán điểm cuối.

Nếu bạn cần, tôi có thể trợ giúp cụ thể hơn về từng bước hoặc ví dụ số.