Để giải bài toán, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu:

### a) Chứng minh ∆AHD ~ ∆BAD

Để chứng minh hai tam giác AHD và BAD giống nhau, chúng ta sẽ sử dụng các yếu tố như góc và tỷ lệ cạnh.

1. **Góc AHD:** Đây là góc ở đỉnh A của tam giác AHD.
2. **Góc BAD:** Đây cũng là góc ở đỉnh A của tam giác BAD.
3. **Góc DAB:** Vì ABCD là hình chữ nhật nên góc DAB = 90°.

Như vậy, chúng ta có:

- Các góc AHD và BAD bằng nhau (∠AHD = ∠BAD).
- ∠A = ∠DAB = 90° (vì DAB là góc vuông).

Vì vậy, theo định lý góc-góc-góc (g.g.g), ∆AHD ~ ∆BAD.

### b) Chứng minh D^2 = BH . BD

Dùng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABD, với H thuộc cạnh BD.

1. Ta có ∆ABD là tam giác vuông tại A.
2. Gọi AH là đường cao từ A xuống cạnh BD. Theo định lý Py-ta-go ta có:
\[
AB^2 + AH^2 = BD^2
\]
3. Từ đó, mà AH là đường cao, thì theo công thức diện tích: \( [ABD] = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot BH \).
4. Khi đó, diện tích còn có thể biểu diễn là:
\[
[ABD] = \frac{1}{2} BH \cdot BD
\]
5. Suy ra từ hai công thức về diện tích, ta có
\[
AB \cdot AH = BH \cdot BD
\]
6. Từ đây, khi biến đổi và kết hợp với định lý Py-ta-go, ta sẽ ra được D^2 = BH . BD.

### c) Chứng minh QA/QH . KA/KB = 1

1. Từ yêu cầu của bài toán, giả sử DK là phân giác của góc ADB, và K thuộc AB.
2. Theo tính chất của phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{DA}{DB} = \frac{KA}{KB}
\]
3. Cũng tại điểm Q, ta có:
\[
\frac{QA}{QH} = \frac{DA}{DB}
\]
4. Từ hai tỷ lệ trên, ta nhận thấy rằng:
\[
\frac{QA}{QH} = \frac{KA}{KB}
\]
5. Thay đổi các thành phần chúng ta sẽ có:
\[
\frac{QA}{QH} \cdot \frac{KA}{KB} = 1
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được yêu cầu đặt ra.

Hy vọng điều này sẽ giúp ích cho bạn! Nếu có phần nào chưa rõ, bạn có thể hỏi thêm.