Để chứng minh phương trình \( x^2 - 2(m-1)x + m-3 = 0 \) có nghiệm với mọi \( m \), chúng ta sẽ xem xét điều kiện delta (D) của phương trình bậc hai này.

### a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi \( m \)

Phương trình có dạng:

\[
ax^2 + bx + c = 0
\]

với \( a = 1 \), \( b = -2(m-1) \), và \( c = m-3 \).

Điều kiện để phương trình này có nghiệm là delta \( D \) phải lớn hơn hoặc bằng 0. Delta được tính bằng công thức:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

Thay các giá trị của \( a \), \( b \), và \( c \):

\[
D = [-2(m-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m-3)
\]
\[
= 4(m-1)^2 - 4(m-3)
\]
\[
= 4[(m-1)^2 - (m-3)]
\]
\[
= 4[(m^2 - 2m + 1) - m + 3]
\]
\[
= 4[m^2 - 3m + 4]
\]

Bây giờ, ta cần chỉ ra rằng biểu thức \( m^2 - 3m + 4 \) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi \( m \).

### Tìm cực trị của \( m^2 - 3m + 4 \)

Cực trị của hàm bậc 2 xảy ra tại \( m = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2} \).

Tính giá trị của hàm tại \( m = \frac{3}{2} \):

\[
\left( \frac{3}{2} \right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} + 4 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 4
\]
\[
= \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{16}{4} = \frac{7}{4}
\]

Vì \( \frac{7}{4} > 0 \), nên \( m^2 - 3m + 4 > 0 \) với mọi \( m \).

Do đó, \( D = 4(m^2 - 3m + 4) \geq 0 \).

Vậy, phương trình \( x^2 - 2(m-1)x + m-3 = 0 \) luôn có nghiệm với mọi \( m \).

### b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( M = x_1^2 + x_2^2 \)

Dễ dàng thấy rằng theo định lý Vieta, nếu \( x_1 \) và \( x_2 \) là nghiệm của phương trình, ta có:

\[
x_1 + x_2 = 2(m-1)
\]
\[
x_1 x_2 = m-3
\]

Biểu thức \( x_1^2 + x_2^2 \) có thể được tính bằng công thức:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2
\]
\[
= (2(m-1))^2 - 2(m-3)
\]
\[
= 4(m-1)^2 - 2(m-3)
\]
\[
= 4(m^2 - 2m + 1) - 2m + 6
\]
\[
= 4m^2 - 8m + 4 - 2m + 6
\]
\[
= 4m^2 - 10m + 10
\]

Bây giờ, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai \( 4m^2 - 10m + 10 \). Cực trị của hàm này xảy ra tại:

\[
m = -\frac{b}{2a} = \frac{10}{2 \cdot 4} = \frac{5}{4}
\]

Tính giá trị của hàm tại \( m = \frac{5}{4} \):

\[
M = 4\left(\frac{5}{4}\right)^2 - 10\left(\frac{5}{4}\right) + 10
\]
\[
= 4 \cdot \frac{25}{16} - \frac{50}{4} + 10
\]
\[
= \frac{100}{16} - \frac{200}{16} + \frac{160}{16}
\]
\[
= \frac{100 - 200 + 160}{16} = \frac{60}{16} = \frac{15}{4}
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( M = x_1^2 + x_2^2 \) là \( \frac{15}{4} \).