Để tìm số nguyên \( x \) sao cho \( \sqrt{x} + \sqrt{x+1} \) là số hữu tỉ, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Giả sử \( \sqrt{x} + \sqrt{x+1} = k \)** với \( k \) là một số hữu tỉ.

2. **Bình phương cả hai vế**:
\[
(\sqrt{x} + \sqrt{x+1})^2 = k^2
\]
Tiến hành mở rộng biểu thức bên trái:
\[
x + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1} + (x + 1) = k^2
\]
Đơn giản hóa:
\[
2x + 1 + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1} = k^2
\]

3. **Biến đổi phương trình**:
\[
2\sqrt{x}\sqrt{x+1} = k^2 - 2x - 1
\]
Chia cả hai vế cho 2:
\[
\sqrt{x}\sqrt{x+1} = \frac{k^2 - 2x - 1}{2}
\]

4. **Bình phương lại để loại bỏ căn**:
\[
x(x+1) = \left(\frac{k^2 - 2x - 1}{2}\right)^2
\]
Giải phương trình này để tìm các giá trị của \( x \).

### Tìm giá trị cụ thể:
Để phương trình trên có nghiệm nguyên, phương trình này sẽ cần phải kiểm tra cho các giá trị nguyên của \( x \).

Xét một vài giá trị của \( x \):
- Nếu \( x = 0 \):
\[
\sqrt{0} + \sqrt{1} = 1 \, (\text{số hữu tỉ})
\]
- Nếu \( x = 1 \):
\[
\sqrt{1} + \sqrt{2} = 1 + \sqrt{2} \, (\text{không hữu tỉ})
\]
- Nếu \( x = 2 \):
\[
\sqrt{2} + \sqrt{3} \, (\text{không hữu tỉ})
\]
- Nếu \( x = 3 \):
\[
\sqrt{3} + \sqrt{4} = \sqrt{3} + 2 \, (\text{không hữu tỉ})
\]
- Nếu \( x = 4 \):
\[
\sqrt{4} + \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5} \, (\text{không hữu tỉ})
\]

...

Cuối cùng, chỉ có giá trị \( x = 0 \) cho ra kết quả là số hữu tỉ.

### Kết luận:
Số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện là:
\[
\boxed{0}
\]