Để chứng minh đoạn AM vuông góc với BC trong tam giác ABC với điều kiện \(AB = AC\) và M là trung điểm của BC, ta thực hiện như sau:

### Chứng minh AM vuông góc với BC

1. **Tam giác cân**: Bởi vì \(AB = AC\), nên tam giác ABC là tam giác cân với đỉnh A.

2. **Tính chất trung điểm**: M là trung điểm của đoạn BC, tức là \(BM = MC\).

3. **Góc đối xứng**: Khi một điểm nằm trên đường trung tuyến của tam giác cân, nó sẽ tạo ra góc vuông với cạnh đối diện. Từ đây, ta có:
- \(AM\) là trung tuyến ứng với cạnh \(BC\) và vì tam giác ABC là tam giác cân, nên:
\[
\angle AMB = \angle AMC
\]

4. **Kết luận**: Do đó, \(AM\) sẽ vuông góc với \(BC\), tức là \(AM \perp BC\).

### Tính độ dài BC

Giả sử:
- \(AB = 5\) cm
- \(AM = 4\) cm

Ta sẽ sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(AMM'\) (trong đó \(M'\) là chân đường cao từ A xuống BC).

Ta có:
\[
AB^2 = AM^2 + BM^2
\]
\[
5^2 = 4^2 + BM^2
\]
\[
25 = 16 + BM^2
\]
\[
BM^2 = 9 \Rightarrow BM = 3 \text{ cm}
\]

Vì M là trung điểm của BC, ta có:
\[
BC = BM + MC = 3 + 3 = 6 \text{ cm}
\]

### Kết quả

1. \(AM\) vuông góc với \(BC\).
2. Độ dài \(BC\) là \(6\) cm.