Để chứng minh rằng \( x \) và \( y \) đều là số chính phương khi \( \sqrt{x} + \sqrt{y} \) là số hữu tỉ, ta bắt đầu với giả thiết đặt \( \sqrt{x} + \sqrt{y} = r \) với \( r \in \mathbb{Q} \).

Ta có thể viết lại biểu thức này như sau:

\[
\sqrt{y} = r - \sqrt{x}
\]

Bình phương hai vế, ta có:

\[
y = (r - \sqrt{x})^2 = r^2 - 2r\sqrt{x} + x
\]

Từ đó, ta có:

\[
y = x + r^2 - 2r\sqrt{x}
\]

Tiếp theo, chúng ta sắp xếp lại để giải cho \(\sqrt{x}\):

\[
2r\sqrt{x} = x + r^2 - y
\]

Bình phương tiếp tục, chúng ta được:

\[
4r^2 x = (x + r^2 - y)^2
\]

Điều này dẫn đến một phương trình phức tạp hơn, nhưng chúng ta sẽ sử dụng một cách tiếp cận khác, đơn giản hơn.

Giả sử rằng \( \sqrt{x} = a \) và \( \sqrt{y} = b \) với \( a, b \in \mathbb{R}^+ \). Khi đó ta có \( a + b = r \).

Bình phương cả hai vế của \( a + b = r \):

\[
a^2 + 2ab + b^2 = r^2
\]

Vì \( a = \sqrt{x} \) và \( b = \sqrt{y} \), nên \( a^2 = x \) và \( b^2 = y \). Ta kết luận rằng:

\[
x + y + 2\sqrt{xy} = r^2
\]

Để \( 2\sqrt{xy} \) cũng là một số hữu tỉ, điều này đồng nghĩa với việc \( \sqrt{xy} \) phải là số hữu tỉ. Do đó, \( xy \) cũng phải là một số chính phương. Gọi \( xy = k^2 \) với \( k \in \mathbb{Z}^+ \).

Xét hai số \( x \) và \( y \). Nếu \( \sqrt{x} = a \) và \( \sqrt{y} = b \), thì \( xy = a^2b^2 = (ab)^2 \). Ở đây, \( ab \) cũng là một số hữu tỉ. Chúng ta tạo ra một hình thức như sau:

\[
\sqrt{x} = m \quad \text{và} \quad \sqrt{y} = n
\]

Với \( m, n \in \mathbb{Q} \). Khi đó:

\[
\sqrt{x} + \sqrt{y} = m + n
\]

Nếu \( \sqrt{x} + \sqrt{y} \) là hữu tỉ, thì \( m \) và \( n \) phải cả hai đều là số hữu tỉ. Kết luận rằng \( x = m^2 \) và \( y = n^2 \) đều là các số chính phương.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng nếu \( \sqrt{x} + \sqrt{y} \) là một số hữu tỉ, thì cả \( x \) và \( y \) đều là số chính phương.

**Kết luận**: \( x \) và \( y \) đều là số chính phương.