Tính S = a + b

Để tính giá trị \( S = a + b \) từ giới hạn \( L_n = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n+3n^2} + \sqrt{n+6n^2} + 1 + \sqrt{an + bn^2} \right) = \frac{7}{2} \), ta sẽ làm như sau:

1. **Tính từng phần của giới hạn:**

- Cho \( L_n = \sqrt{n(1 + 3n)} + \sqrt{n(1 + 6n)} + 1 + \sqrt{n(a + bn)} \).
- Đưa \( n \) ra ngoài căn:
\[
L_n = \sqrt{n^2(3 + \frac{1}{n})} + \sqrt{n^2(6 + \frac{1}{n})} + 1 + \sqrt{n^2(b) + an}
\]
- Khi \( n \to \infty \), phần cận trong của căn trở thành:
\[
L_n = \sqrt{3} n + \sqrt{6} n + 1 + \sqrt{b} n
\]

2. **Tính giới hạn**:
\[
L_n \to (\sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{b}) n + 1
\]
Với \( L_n = \frac{7}{2} \), ta có:
- Tổng số hạng trong giới hạn sẽ là một hằng số (không có biến \( n \) sau khi tính giới hạn). Để bên trái không có \( n \), ta cần \( \sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{b} = 0 \).

3. **Giải phương trình**:
\[
\sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{b} = 0 \implies \sqrt{b} = - (\sqrt{3} + \sqrt{6})
\]
\( b \) sẽ có giá trị là số âm, và từ phương trình này (do đó nhu cầu \( a + b \)), giá trị \( a + b \) sẽ phụ thuộc vào giá trị do \( a \) quyết định.

Do vậy, \( S = a + b \) cần được xác định từ vài giá trị cụ thể mà bài toán đưa ra, và từ đó, ta có thể tìm ra cách thuần nhất để tính toán \( a \) và \( b \).

**Kết luận về \( S \)**: Cần giá trị cụ thể từ \( L_n \) để xác nhận, và từ lựa chọn có sẵn, bạn cần kiểm tra \( S \).

### Kết quả lựa chọn:
- A. \( \frac{2}{3} \)
- B. \( -\frac{3}{2} \)
- C. \( 3 \)
- D. \( -2 \)

Có thể dùng phương trình với \( a + b \) để tính tìm giá trị \( S \). Tính toán từ cấp số từ từng phần nguyên vật lý là cách tiếp cận để đạt được điều đó từ \( S\).

Tuy nhiên, cần điều tra sâu hơn để tìm ra giá trị của \( a \) và \( b \) từ chúng.