Để giải bài toán này, ta cần chia thời gian đi xuôi và ngược lại thành hai phần, rồi sử dụng công thức quãng đường.

Gọi x là vận tốc riêng của thuyền (km/h).

1. **Tính toán thời gian đi xuôi và ngược**:
- Khi đi xuôi dòng, vận tốc của thuyền sẽ là \(x + 5\) km/h (vận tốc thuyền cộng với vận tốc dòng nước).
- Khi đi ngược dòng, vận tốc của thuyền sẽ là \(x - 5\) km/h (vận tốc thuyền trừ đi vận tốc dòng nước).

2. **Thời gian đi xuôi và ngược**:
- Thời gian đi xuôi: \(\frac{50}{x + 5}\) giờ
- Thời gian đi ngược: \(\frac{50}{x - 5}\) giờ

3. **Tổng thời gian**:
- Tổng thời gian đi xuôi và ngược là 4 giờ 10 phút, tức là \(4 + \frac{10}{60}\) giờ = \(4 + \frac{1}{6}\) giờ = \(\frac{25}{6}\) giờ.
- Do đó, ta có phương trình:
\[
\frac{50}{x + 5} + \frac{50}{x - 5} = \frac{25}{6}
\]

4. **Giải phương trình**:
- Nhân cả hai vế với \(6(x + 5)(x - 5)\) để loại bỏ mẫu:
\[
6(x - 5) \cdot 50 + 6(x + 5) \cdot 50 = 25(x + 5)(x - 5)
\]
\[
300(x - 5) + 300(x + 5) = 25(x^2 - 25)
\]
\[
300x - 1500 + 300x + 1500 = 25x^2 - 625
\]
\[
600x = 25x^2 - 625
\]
\[
25x^2 - 600x - 625 = 0
\]
Chia cả phương trình cho 25:
\[
x^2 - 24x - 25 = 0
\]

5. **Sử dụng công thức nghiệm**:
- Công thức nghiệm là:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \(a = 1, b = -24, c = -25\):
\[
x = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25)}}{2 \cdot 1} = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 100}}{2}
\]
\[
x = \frac{24 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{24 \pm 26}{2}
\]
- Nghiệm dương:
\[
x = \frac{50}{2} = 25
\]
- Nghiệm âm:
\[
x = \frac{-2}{2} = -1 \text{ (bỏ)}
\]

6. **Kết luận**:
Vận tốc riêng của thuyền là \(25\) km/h.