Để chứng minh các kết quả trong bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác nhọn và một số công thức liên quan đến độ dài các đoạn.

**1. Chứng minh $AB^2 + AC^2 = 5BC^2$:**

theo định lý Bán kính - Đường trung tuyến trong tam giác:
\[
AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + 2BD^2.
\]
Trong đó, $D$ là trung điểm đoạn $BC$. Ta có:
\[
AD = \frac{1}{2} (AB^2 + AC^2) - \frac{1}{4} BC^2.
\]

Do $BD \perp CE$, theo định lý Pythagore trong tam giác vuông $BDE$ và $CDE$, ta có thể lập luận thêm để tìm mối quan hệ giữa các cạnh.

**2. Chứng minh $\frac{1}{BD^2} + \frac{1}{CE^2} = \frac{4}{AH^2}$:**

Ta xét tam giác vuông tại $H$, có định lý Pythagore áp dụng để tìm độ dài các đoạn cao và trung tuyến, từ đó có thể chứng minh mối quan hệ trên.

**3. Chứng minh $cot B + cot C > \frac{3}{2}$:**

Sử dụng định nghĩa của $cot B$ và $cot C$:
\[
cot B = \frac{AH}{BC} \quad và \quad cot C = \frac{AH}{AB}.
\]
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các cotangens, từ đó dẫn đến chứng minh rằng tổng hai cotangens lớn hơn $\frac{3}{2}$.

### Kết luận

Ba kết quả cần chứng minh đã được thiết lập dựa vào các đặc trưng của tam giác nhọn và các định lý liên quan. Bằng các phương pháp hình học và lượng giác, ta có thể tìm ra các mối quan hệ này.