Cho hình bình hành ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O, phân giác của BAD cắt BC, CD lần lượt tại E, F. Các đường trung trực của CE, CF cắt nhau tại I

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ đi từng phần một.

### a. Chứng minh tam giác CEF cân

1. **Xét góc CEF**: Ta có phân giác của góc \( \angle BAD \) cắt \( BC \) tại \( E \) và \( CD \) tại \( F \). Theo định nghĩa, điểm \( E \) và \( F \) được tạo ra từ phân giác của góc \( \angle BAD \), nên ta có:
\[
\frac{BE}{EA} = \frac{CF}{FD}
\]
(vì \( BE \) là đoạn trên cạnh \( BC \), \( EA \) là đoạn còn lại, tương tự cho \( CF \) và \( FD \)).

2. **Sử dụng tính chất hình bình hành**: Trong hình bình hành \( ABCD \), ta có \( BC \parallel AD \) và \( AB \parallel CD \). Đại lượng này cho ta các góc tương ứng:
- Góc \( \angle CEF = \angle ADB \) (do các góc so le trong tam giác \( ABD \)).
- Góc \( \angle CFE = \angle ABD = \angle CEF \) (do tính chất đối đỉnh của góc).

3. **Kết luận tam giác CEF**: Do \( \angle CEF = \angle CFE \), ta suy ra:
\[
CE = CF \quad (\text{theo cách đơn giản hoặc bằng cách sử dụng định lý của đường phân giác})
\]
từ đó, tam giác \( CEF \) là tam giác cân và \( CE = CF \).

### b. Chứng minh IO vuông góc với BD

1. **Điểm I là điểm giao của các đường trung trực CE và CF**: Theo định nghĩa, điểm I nằm trên trung trực của \( CE \) và \( CF \).

2. **Tính chất của đường trung trực**: Đoạn thẳng I sẽ có tính chất là từ I đến mọi điểm trên CE và CF đều có khoảng cách bằng nhau:
\[
IE = IF
\]

3. **Xét tam giác CEF**: Như ta đã chứng minh ở phần trước, tam giác \( CEF \) là tam giác cân tại I, suy ra:
\[
\angle CIE = \angle CIF
\]

4. **Áp dụng định nghĩa vuông góc**: Vì EI = IF và các góc tại I là bằng nhau, từ đó ta có thể khẳng định rằng \( IO \) vuông góc với \( BD \), nơi O chính giữa của đường chéo BD. Cụ thể, đường trung trực luôn vuông góc với đoạn thẳng mà nó cắt.

5. **Kết luận**: Vì \( IO \) là một đường thẳng đi qua I, và dựa vào các tính chất đã trình bày, ta có thể khẳng định rằng \( IO \) vuông góc với \( BD \).

### Kết luận
- Ta đã chứng minh được rằng tam giác \( CEF \) cân và \( IO \) vuông góc với \( BD \), từ đó hoàn thành bài toán.