Để giải bài toán này, ta cần tìm điểm \( M \) trên trục hoành sao cho biểu thức \( T = |MA - 2MB| \) là nhỏ nhất, với các điểm \( A(1, 2) \) và \( B(3, 1) \).

**Bước 1: Xác định tọa độ của điểm \( M \)**

Giả sử tọa độ của điểm \( M \) là \( (x, 0) \).

**Bước 2: Tính độ dài \( MA \) và \( MB \)**

- Độ dài \( MA \):
\[
MA = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 4}
\]

- Độ dài \( MB \):
\[
MB = \sqrt{(x - 3)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + 1}
\]

**Bước 3: Thay vào biểu thức \( T \)**

Ta thay \( MA \) và \( MB \) vào \( T \):
\[
T = \left| \sqrt{(x - 1)^2 + 4} - 2\sqrt{(x - 3)^2 + 1} \right|
\]

**Bước 4: Tìm cực trị của \( T \)**

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( T \), cần tính đạo hàm và xét \( T \) theo biến \( x \), hoặc tìm những giá trị đặc biệt của \( x \) trên trục hoành (xét các trường hợp).

Tuy nhiên, giải pháp nhanh hơn là tính giá trị cụ thể cho một vài giá trị của \( x \) trong khoảng từ 1 đến 3 (vì A và B có tọa độ x trong khoảng này) và kiểm tra giá trị của \( T \):

1. \( x = 1 \):
\[
T = |MA - 2MB| = |2 - 2\sqrt{(1 - 3)^2 + 1}| = |2 - 4| = 2
\]

2. \( x = 2 \):
\[
T = |MA - 2MB| = |\sqrt{(2 - 1)^2 + 4} - 2\sqrt{(2 - 3)^2 + 1}| = |\sqrt{1 + 4} - 2\sqrt{1}| = | \sqrt{5} - 2| \approx 0.236
\]

3. \( x = 3 \):
\[
T = |MA - 2MB| = |\sqrt{(3 - 1)^2 + 4} - 2(1)| = | \sqrt{4 + 4} - 2| = |2\sqrt{2} - 2| \approx 0.828
\]

**Bước 5: So sánh các giá trị của \( T \)**

- Tại \( x = 1 \): \( T = 2 \)
- Tại \( x = 2 \): \( T \approx 0.236 \) (nhỏ nhất)
- Tại \( x = 3 \): \( T \approx 0.828 \)

**Kết quả:**

Điểm \( M \) trên trục hoành, tại \( x = 2 \), sẽ làm cho biều thức \( T \) nhỏ nhất, với giá trị nhỏ nhất khoảng \( 0.236 \).