Tìm số nguyên x y: x^2 + 4y^2 - 2xy + 2x - 14y + 9 = 0

Để giải phương trình \(x^2 + 4y^2 - 2xy + 2x - 14y + 9 = 0\), chúng ta sẽ xem phương trình này như một phương trình bậc hai theo \(x\):

\[
x^2 - 2xy + 2x + (4y^2 - 14y + 9) = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp này, \(a = 1\), \(b = -2y + 2\), và \(c = 4y^2 - 14y + 9\). Để \(x\) là một số nguyên, thì biểu thức dưới dấu căn (delta) phải là một số chính phương và phải dương hoặc bằng 0.

Tính delta (\(D\)):

\[
D = b^2 - 4ac = (-2y + 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4y^2 - 14y + 9)
\]

Tính \(D\):

\[
D = (4y^2 - 8y + 4) - (16y^2 - 56y + 36)
\]
\[
D = 4y^2 - 8y + 4 - 16y^2 + 56y - 36
\]
\[
D = -12y^2 + 48y - 32
\]

Để \(D\) là một số chính phương, ta cần \(D \geq 0\):

\[
-12y^2 + 48y - 32 \geq 0
\]

Phương trình này có thể chia cho -4:

\[
3y^2 - 12y + 8 \leq 0
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
D' = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 144 - 96 = 48
\]

Nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
y = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \times 3} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}
\]

Sau đó tìm khoảng nghiệm:

Tính toán cho \(y \in [1, 4]\) vì là các giá trị nguyên.

Thử với \(y = 1\):

\[
x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1
\]

Thử với \(y = 2\):

\[
x^2 - 4x - 1 = 0 \Rightarrow D = 16 + 4 = 20 \text{ (Không là số chính phương)}
\]

Thử với \(y = 3\):

\[
x^2 - 6x + 3 = 0 \Rightarrow D = 36 - 12 = 24 \text{ (Không là số chính phương)}
\]

Thử với \(y = 4\):

\[
x^2 - 8x + 1 = 0 \Rightarrow D = 64 - 4 = 60 \text{ (Không là số chính phương)}
\]

Kết luận, ta có nghiệm duy nhất là:

\[
(x, y) = (1, 1)
\]

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là \( (x, y) = (1, 1) \).