Tìm các số tự nhiên x y sao cho x^3 = y^3 + 2y^2 + y + 4

Để tìm các số tự nhiên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình

\[
x^3 = y^3 + 2y^2 + y + 4
\]

ta có thể biến đổi phương trình này.

Trước tiên, đưa mọi thứ về một phía:

\[
x^3 - y^3 - 2y^2 - y - 4 = 0
\]

Phương trình có thể được giải quyết bằng cách thử nghiệm một số giá trị tự nhiên cho \( y \) và tính giá trị \( x \).

**Thử với các giá trị \( y \)**:

1. **Khi \( y = 0 \)**:
\[
x^3 = 0^3 + 2 \cdot 0^2 + 0 + 4 = 4 \implies x^3 = 4 \; \text{(không có số tự nhiên)}
\]

2. **Khi \( y = 1 \)**:
\[
x^3 = 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 1 + 4 = 1 + 2 + 1 + 4 = 8 \implies x^3 = 8 \implies x = 2
\]
Vậy một cặp nghiệm là \( (x, y) = (2, 1) \).

3. **Khi \( y = 2 \)**:
\[
x^3 = 2^3 + 2 \cdot 2^2 + 2 + 4 = 8 + 8 + 2 + 4 = 22 \implies x^3 = 22 \; \text{(không có số tự nhiên)}
\]

4. **Khi \( y = 3 \)**:
\[
x^3 = 3^3 + 2 \cdot 3^2 + 3 + 4 = 27 + 18 + 3 + 4 = 52 \implies x^3 = 52 \; \text{(không có số tự nhiên)}
\]

5. **Khi \( y = 4 \)**:
\[
x^3 = 4^3 + 2 \cdot 4^2 + 4 + 4 = 64 + 32 + 4 + 4 = 104 \implies x^3 = 104 \; \text{(không có số tự nhiên)}
\]

6. **Khi \( y = 5 \)**:
\[
x^3 = 5^3 + 2 \cdot 5^2 + 5 + 4 = 125 + 50 + 5 + 4 = 184 \implies x^3 = 184 \; \text{(không có số tự nhiên)}
\]

7. **Khi \( y = 6 \)**:
\[
x^3 = 6^3 + 2 \cdot 6^2 + 6 + 4 = 216 + 72 + 6 + 4 = 298 \implies x^3 = 298 \; \text{(không có số tự nhiên)}
\]

Từ các thử nghiệm trên, chúng ta thấy rằng chỉ có cặp \( (x, y) = (2, 1) \) là nghiệm duy nhất trong các số tự nhiên cho phương trình đã cho.

**Kết luận**: Nghiệm duy nhất là \( (x, y) = (2, 1) \).