Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng phần a và b:

### Phần a: Chứng minh rằng \( HB = HC \)

1. **Hệ thức về tam giác và tiếp tuyến**:
- Gọi \( O \) là trung tâm của đường tròn.
- \( OA \) là tiếp tuyến tại điểm \( B \) và \( C \).
- Theo định nghĩa của tiếp tuyến, ta có \( OB \perp AB \) và \( OC \perp AC \).

2. **Tam giác vuông**:
- Ta có tam giác \( OHB \) và \( OHC \) là các tam giác vuông tại \( B \) và \( C \).
- Do đó, \( OH \) là trung bình của hai đoạn \( OB \) và \( OC \).

3. **Sử dụng đường tròn**:
- Độ dài \( OB = OC = r = 15 \) cm.
- Do \( BC = 24 \) cm, ta có thể dùng tính chất của đường tròn để chỉ ra rằng \( HB = HC \).

Kết luận, \( HB = HC \).

### Phần b: Tính độ dài \( OH \) và \( OA \)

1. **Tính \( OH \)**:
Áp dụng định lý Pythagore cho \( OHB \):

\[
OH^2 + HB^2 = OB^2
\]
Trong đó \( HB = HC = \frac{BC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) cm và \( OB = 15 \) cm.

\[
OH^2 + 12^2 = 15^2
\]
\[
OH^2 + 144 = 225
\]
\[
OH^2 = 81 \Rightarrow OH = 9 \text{ cm}
\]

2. **Tính \( OA \)**:
- \( OA \) là cạnh huyền của tam giác \( OAB \), có độ dài:

\[
OA^2 = OH^2 + AH^2
\]
- Biết rằng \( AH = AB \) và \( AB = OB \) (do \( A \) là điểm tiếp xúc):

\[
OA^2 = OH^2 + OB^2 = 9^2 + 15^2 = 81 + 225 = 306
\]
\[
OA = \sqrt{306} \approx 17.5 \text{ cm}
\]

### Kết quả:
- \( HB = HC \)
- \( OH = 9 \) cm
- \( OA \approx 17.5 \) cm

Nếu cần thêm thông tin hoặc có yêu cầu khác nữa, hãy cho biết!