Để trả lời các phần trong bài toán, ta thực hiện như sau:

### a) Các tam giác ABK và ACK là tam giác gì?

Tam giác \(ABK\) và \(ACK\) có điểm K nằm trên đường tròn (O, R), và A là điểm nằm trên đường kính AK của đường tròn. Theo tính chất của góc nội tiếp, có thể rút ra rằng:

- Góc \( \angle ABK = \angle ACB \) (góc nội tiếp đối diện cạnh AB)
- Góc \( \angle ACK = \angle CBA \) (góc nội tiếp đối diện cạnh AC)

Do vậy, ta có:

- \( \angle ABK = \angle ACB \) và \( \angle ACK = \angle CBA \).

Từ đây, ta có thể kết luận rằng 2 tam giác \(ABK\) và \(ACK\) đồng dạng nhau.

### b) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác \(BHCK\) là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau.

Vì H là giao điểm của các đường cao BE và CF, đồng thời K là điểm trên đường tròn, ta có thể sử dụng tính chất của đường cao và từ hình vẽ để chứng minh. Hơn nữa:

- \(BH \parallel CK\)
- \(BC \parallel AH\)

Nên \(BHCK\) có hai cặp cạnh đối diện song song, và vì vậy tứ giác này là hình bình hành.

### c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AH = 2OI.

Ta biết rằng O là tâm đường tròn, và I là trung điểm của BC. Theo định nghĩa, ta có:

- \(AH\) là đường trung bình của tứ giác BHCK.
- Từ định lý trung bình, chiều dài của nó sẽ bằng hai lần khoảng cách giữa O và I.

Do đó, \(AH = 2OI\).

Hy vọng rằng câu trả lời này đủ rõ ràng và hữu ích cho bạn!