Để tìm điều kiện của \( m \) để bất phương trình \( x + 2m < 1 + 2mx \) trở thành một bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta có thể biến đổi bất phương trình như sau:

1. **Chuyển hết về một vế**:
\[
x - 2mx < 1 - 2m
\]
\[
x(1 - 2m) < 1 - 2m
\]

2. **Xét hệ số của x**:
- Nếu \( 1 - 2m \neq 0 \): đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn về \( x \).
- Nếu \( 1 - 2m = 0 \), thì bất phương trình trở thành \( 0 < 1 - 2m \), và điều này chỉ khi \( 1 - 2m > 0 \), tương đương \( m < \frac{1}{2} \).

3. **Tìm điều kiện**:
- Từ đó, ta có:
- Nếu \( m \neq \frac{1}{2} \), bất phương trình là bậc nhất khi \( m \) không bằng \( \frac{1}{2} \).
- Nếu \( m = \frac{1}{2} \), sẽ diễn ra một tình huống khác.

### a) Điều kiện của \( m \):
Bất phương trình là bậc nhất một ẩn nếu \( m \neq \frac{1}{2} \).

### b) Giải bất phương trình với điều kiện đã tìm được:

Giả sử \( m < \frac{1}{2} \):
\[
x(1 - 2m) < 1 - 2m
\]
Chia cả hai vế cho \( 1 - 2m \) (vì \( 1 - 2m > 0 \)):
\[
x < \frac{1 - 2m}{1 - 2m}
\]
=> \( x < 1 \).

Giả sử \( m > \frac{1}{2} \):
\[
x(1 - 2m) < 1 - 2m
\]
Chia cả hai vế cho \( 1 - 2m \) (vì \( 1 - 2m < 0 \)):
\[
x > 1
\]

### Kết luận:

- Với \( m < \frac{1}{2} \): \( x < 1 \).
- Với \( m > \frac{1}{2} \): \( x > 1 \).

Như vậy, dựa trên điều kiện của \( m \) mà chúng ta đã tìm được ở phần a), bạn có thể áp dụng để giải bài toán cụ thể cho các giá trị khác nhau của \( m \).