Để giải phương trình:

\[
(1 - \frac{x - 1}{x + 1})(x + 2) = \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1}
\]

Bước 1: Đơn giản hóa bên trái.

Nhận thấy rằng:

\[
1 - \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - (x - 1)}{x + 1} = \frac{2}{x + 1}
\]

Vậy bên trái trở thành:

\[
\frac{2}{x + 1}(x + 2) = \frac{2(x + 2)}{x + 1}
\]

Bên trái của phương trình sẽ trở thành:

\[
\frac{2(x + 2)}{x + 1}
\]

Bước 2: Đơn giản hóa bên phải.

Cùng nhau tính bên phải:

\[
\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1)^2 + (x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)}
\]

Bây giờ tính \((x + 1)^2 + (x - 1)^2\):

\[
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
\]

\[
(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1
\]

Vậy tổng là:

\[
x^2 + 2x + 1 + x^2 - 2x + 1 = 2x^2 + 2
\]

Vậy bên phải trở thành:

\[
\frac{2x^2 + 2}{(x - 1)(x + 1)}
\]

Bước 3: Thiết lập phương trình mới.

Ta có:

\[
\frac{2(x + 2)}{x + 1} = \frac{2x^2 + 2}{(x - 1)(x + 1)}
\]

Bước 4: Nhân chéo.

Ta có:

\[
2(x + 2)(x - 1) = (2x^2 + 2)(x + 1)
\]

Bước 5: Mở rộng hai bên.

Bên trái:

\[
2(x^2 + 2x - x - 2) = 2(x^2 + x - 2)
\]

Bên phải:

\[
2x^3 + 2x^2 + 2x + 2
\]

Bước 6: Rút gọn và chuyển về một bên.

\[
2x^2 + 2x - 4 - 2x^3 - 2x^2 - 2x - 2 = 0
\]

Giản lược:

\[
-2x^3 - 6 = 0 \implies 2x^3 = -6 \implies x^3 = -3 \implies x = -\sqrt[3]{3}
\]

Bước 7: Kiểm tra điều kiện.

Cần chú ý các điều kiện không được nằm trong miền mà phương trình không xác định:

- Phương trình không xác định nếu \(x = 1\) hoặc \(x = -1\).

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{-\sqrt[3]{3}}
\]