Cho số nguyên tố p > 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số p^n có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau

Để chứng minh rằng trong 20 chữ số của số \( p^n \) có ít nhất 3 chữ số giống nhau, ta sẽ sử dụng nguyên lý Dirichlet (hoặc nguyên lý chia sẻ).

1. **Số chữ số của \( p^n \)**:
Số chữ số của một số nguyên dương \( x \) được tính bằng công thức:
\[
d(x) = \lfloor \log_{10} x \rfloor + 1
\]

Áp dụng vào số \( p^n \), ta có:
\[
d(p^n) = \lfloor n \log_{10} p \rfloor + 1 = 20
\]
Điều này cho biết:
\[
19 \leq n \log_{10} p < 20
\]

2. **Giá trị của \( n \log_{10} p \)**:
Ta có:
\[
19 \leq n \log_{10} p < 20
\]

Điều này dẫn đến:
\[
\frac{19}{\log_{10} p} \leq n < \frac{20}{\log_{10} p}
\]

Chúng ta sẽ chú ý đến khoảng này và xác định giá trị khả thi của \( n \).

3. **Đếm chữ số xuất hiện**:
Số chữ số của \( p^n \) là 20, tức là các chữ số có thể là từ 0 đến 9, nghĩa là có 10 chữ số khác nhau. Tuy nhiên, với 20 chữ số, nếu chỉ có 2 chữ số giống nhau thì tối đa có thể xuất hiện 2 lần cho mỗi chữ số, tức là \( 2 \times 10 = 20 \).

Tuy nhiên, với 20 chữ số trong khi chỉ có 10 chữ số có sẵn, theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất 3 chữ số phải giống nhau.

4. **Kết luận**:
Bằng việc áp dụng nguyên lý Dirichlet, ta đã chứng minh rằng trong 20 chữ số của \( p^n \) có ít nhất 3 chữ số giống nhau.