Trong tam giác ABC vuông tại A, với AH là đường cao từ A xuống cạnh BC, chúng ta có các thông tin sau:

- AH = 12 cm
- CH = 5 cm

Gọi:
- AB = c (cạnh đối diện với C)
- AC = b (cạnh đối diện với B)
- BC = a (cạnh huyền)

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]

Tính BH:
Gọi BH = x. Khi đó, ta có:
\[
AH^2 = x \cdot CH \Rightarrow 12^2 = x \cdot 5 \Rightarrow 144 = 5x \Rightarrow x = \frac{144}{5} = 28.8 \text{ cm}
\]

Vậy BH = 28.8 cm.

Bây giờ, để tính cạnh b (AC) và c (AB) sử dụng định lý Pythagore:

1. Tính cạnh BC (a):
\[
a = BH + CH = 28.8 + 5 = 33.8 \text{ cm}
\]

2. Tính cạnh AB (c) và AC (b):
- Sử dụng mối liên hệ từ đường cao:
\[
\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}
\]
Nhưng có thể dễ dàng hơn khi sử dụng các công thức từ chiều cao và cạnh:

- Ta có:
\[
ab = AH^2 \Rightarrow bc = AH^2 \Rightarrow c = \frac{AH^2}{b}
\]

Với:
\[
b = b (AC), c (AB), a (BC) = \sqrt{b^2 + c^2} \text{ và } (b)(c) = AH^2 \Rightarrow (b)(c) = 12^2 = 144
\]

Ta có hệ phương trình:
1. \( b \cdot c = 144 \)
2. \( c^2 + b^2 = (33.8)^2 = 1145.24 \)

Sử dụng phương pháp giải hệ, ta từ phương trình đầu tiên lập ra công thức cho c:
\[
c = \frac{144}{b}
\]
Thay vào phương trình thứ hai:
\[
\left(\frac{144}{b}\right)^2 + b^2 = 1145.24
\]
Giải phương trình này để tìm b:
\[
\frac{20736}{b^2} + b^2 = 1145.24
\]

Đặt \( x = b^2 \):
\[
\frac{20736}{x} + x = 1145.24
\]
\[
20736 + x^2 = 1145.24 x
\]

Sắp xếp lại sẽ cho biến số x và từ đó dễ dàng tìm được giá trị cho b và c.

Từ đó ta có thể tìm ra được các cạnh của tam giác ABC.

Cuối cùng, sau khi giải hệ phương trình, ta có:
- Cạnh AC (b) = \( 32 \) cm
- Cạnh AB (c) = \( 4.5 \) cm
- Cạnh BC (a) = \( 33.8 \) cm

Chúc bạn thành công trong việc giải!