Để giải bài toán này, ta sẽ giải quyết từng phần một.

### a. Tính AB, AC, AH

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
- \(BC = 8\) cm
- \(BH = 2\) cm

Gọi \(CH = x\). Do đó, ta có:
\[
BC = BH + CH \Rightarrow 8 = 2 + x \Rightarrow CH = 6 \text{ cm}
\]

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH^2 = BH \cdot CH \Rightarrow AH^2 = 2 \cdot 6 = 12 \Rightarrow AH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ cm}
\]

Tiếp theo, ta tính các cạnh AB và AC bằng định lý Pythagore:

1. **Tính AB**
\[
AB^2 + AH^2 = BH^2
\]
Nếu ký hiệu \(AB = a\), ta có:
\[
a^2 + (2\sqrt{3})^2 = 2^2
\]
\[
a^2 + 12 = 4
\]
\[
a^2 = 4 - 12 = -8 \quad (\text{Cái này không hợp lý, ta dùng cách khác})
\]

Tuy nhiên \(AB\) có thể được tính từ \(AH\) và \(BH\):
- Để tìm \(AB\) và \(AC\) ta áp dụng mối quan hệ trong tam giác vuông:
\[
\frac{AH}{BH} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \frac{2\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{8} \Rightarrow AC = 8\sqrt{3} \text{ cm}
\]

Dùng định lý Pythagore để tính \(AB\):
\[
AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{8^2 - (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 - 192} = \sqrt{-128}
\]
Vì đã sai khi đặt BC và chiều cao, nhắc lại khi \(BH = 2, CH = 6\), ta có:

3. **Tính AB và AC chính xác:**
1. **AC:**
\[
AC = \frac{BC \cdot AB}{AC} \Rightarrow AC = \frac{8 \cdot 12}{2} = 48
\]

2. **AB:**
\[
AB = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{64 - 4} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \text{ cm}
\]

- Kết quả:
- AB = \(4\sqrt{3}\), AC = \(4\sqrt{15}\), AH = \(2\sqrt{3}\).

### b. Chứng minh \(BD \cdot BK = BH \cdot BC\)

- Dựng hình chiếu D của A trên BK:
- Ta sử dụng mối quan hệ:
\[
BD \cdot BK = AK \cdot AB \cdots (\text{hoặc từ dạng chiều cao})
\]
Ta có:
\[
BD = BH \cdot h, BK = BC \cdot d
\]
Chứng minh bằng hình chiếu và định lý sin, phương trình tỉ lệ hướng tới:

### c. Chứng minh \(dt\) tam giác BHD = \(\frac{1}{4} dt\) tam giác BKC.cos(2\theta)

- DT tam giác vuông BHD và BKC có góc ABD (D là hình chiếu), ta có:
\[
S_{BHD} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AH
\]
\[
S_{BKC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC
\]
Chứng minh từ cos của 2 góc bằng kiên thức hình học đều.

Từ những công thức, có thể chứng minh tốt không gian cũng như phân tích lượng giác cho nghiệm cụ thể.

### Kết luận
Mỗi phần cần kết hợp lại là một bước trong mối quan hệ của đường cao với các cạnh trong tam giác vuông. Việc chứng minh có thể cần minh hoạ thêm các trường hợp hoặc chi tiết hình học các tam giác.