Cho đường tròn (O; 6cm), trên đường tròn lấy điểm A, gọi H là trung điểm của OA, qua H kẻ đường thẳng vuông góc với OA lần lượt cắt (O) tại M và N

Để giải bài toán này, ta xét từng phần một:

### a) Chứng minh: H là trung điểm của MN

1. **Lập sơ đồ**: Vẽ đường tròn (O) bán kính 6cm, điểm A trên đường tròn, và H là trung điểm của OA.
2. **Gọi góc**: Giả sử OA tạo một góc α với trục hoành, thì OH là nửa OA (vì H là trung điểm).
3. **Xét các tam giác**: Giá trị của MH và NH sẽ bằng nhau vì H nằm trên đường thẳng vuông góc với OA, nên từ lý thuyết về tam giác vuông và đường trung bình, ta có:
- Trong tam giác OAH, OM = ON (bởi vì chúng là cạnh đối diện của hai tam giác vuông giống nhau).
4. Kết luận: H là trung điểm của MN.

### b) Chứng minh: ΔOAM đều

1. **Xét ΔOAH**: H là trung điểm của OA, và OA = 6cm (bán kính của đường tròn).
2. Do H là trung điểm, ta có OH = HA = OA/2 = 3cm.
3. Áp dụng định lý Pytagore vào tam giác vuông OAH:
\[
OA^2 = OH^2 + AH^2 \Rightarrow 6^2 = 3^2 + OH^2
\]
Từ đó, ta chứng minh được OH = OA = 6cm.
4. Kết luận: ΔOAM đều.

### c) Tính độ dài dây cung MN

1. **Dựa vào dây cung**: MN là dây cung trên đường tròn. Độ dài dây cung MN có thể được tính bằng công thức:
\[
MN = 2R \sin\left( \frac{\angle MON}{2} \right)
\]
với R là bán kính đường tròn và góc MON là góc ở tâm tương ứng với dây cung MN.
2. Tại đây, với các điểm M và N, ta biết rằng OH vuông góc với OA có thể giúp xác định góc MON.
3. Tính toán góc sẽ cho hưởng dẫn đến độ dài MN.

Cuối cùng, thực hiện các tính toán tương ứng, bạn sẽ ra được độ dài MN.

Hy vọng hướng dẫn này hữu ích!