Để giải bài toán này, ta xét biểu thức \( (2x + 1)(4 - x^2) = 0 \).

Biểu thức này bằng 0 khi một trong hai yếu tố là 0.

1. **Giải \( 2x + 1 = 0 \):**
\[
2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}
\]

Giá trị này không phải là số nguyên.

2. **Giải \( 4 - x^2 = 0 \):**
\[
4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \text{ hoặc } x = -2
\]

Cả hai giá trị -2 và 2 đều là số nguyên.

Từ đó, các giá trị nguyên thỏa mãn là \( x = 2 \) và \( x = -2 \).

Tổng cộng có **2 giá trị nguyên** của \( x \) thỏa mãn biểu thức.

Vậy đáp án là **2**.