Để khai triển các hằng đẳng thức đã cho, chúng ta sẽ sử dụng công thức khai triển biểu thức lập phương:

\[
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]

Bây giờ, hãy áp dụng công thức này cho từng trường hợp:

### a) \((x + 1)^3\)

Đặt \(a = x\) và \(b = 1\):

\[
(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3
\]

Kết quả:

\[
(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
\]

### b) \((2x + 3)^3\)

Đặt \(a = 2x\) và \(b = 3\):

\[
(2x + 3)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2 \cdot 3 + 3(2x) \cdot 3^2 + 3^3
\]

Tính từng phần:

\[
(2x)^3 = 8x^3, \quad 3(2x)^2 \cdot 3 = 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 = 36x^2, \quad 3(2x) \cdot 9 = 54x, \quad 3^3 = 27
\]

Kết quả:

\[
(2x + 3)^3 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27
\]

### c) \((x + \frac{1}{2})^3\)

Đặt \(a = x\) và \(b = \frac{1}{2}\):

\[
\left(x + \frac{1}{2}\right)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot \frac{1}{2} + 3x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3
\]

Tính từng phần:

\[
3x^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}x^2, \quad 3x \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}x, \quad \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}
\]

Kết quả:

\[
\left(x + \frac{1}{2}\right)^3 = x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}
\]

### d) \((x^2 + 2)^3\)

Đặt \(a = x^2\) và \(b = 2\):

\[
(x^2 + 2)^3 = (x^2)^3 + 3(x^2)^2 \cdot 2 + 3(x^2) \cdot 2^2 + 2^3
\]

Tính từng phần:

\[
(x^2)^3 = x^6, \quad 3(x^2)^2 \cdot 2 = 6x^4, \quad 3(x^2) \cdot 4 = 12x^2, \quad 2^3 = 8
\]

Kết quả:

\[
(x^2 + 2)^3 = x^6 + 6x^4 + 12x^2 + 8
\]

### e) \((2x + 3y)^3\)

Đặt \(a = 2x\) và \(b = 3y\):

\[
(2x + 3y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2 \cdot 3y + 3(2x)(3y)^2 + (3y)^3
\]

Tính từng phần:

\[
(2x)^3 = 8x^3, \quad 3(2x)^2 \cdot 3y = 36xy^2, \quad 3(2x)(9y^2) = 54x y^2, \quad (3y)^3 = 27y^3
\]

Kết quả:

\[
(2x + 3y)^3 = 8x^3 + 36xy^2 + 54xy^2 + 27y^3
\]

### f) \(\left(\frac{1}{2}x + y^2\right)^3\)

Đặt \(a = \frac{1}{2}x\) và \(b = y^2\):

\[
\left(\frac{1}{2}x + y^2\right)^3 = \left(\frac{1}{2}x\right)^3 + 3\left(\frac{1}{2}x\right)^2 y^2 + 3\left(\frac{1}{2}x\right)(y^2)^2 + (y^2)^3
\]

Tính từng phần:

\[
\left(\frac{1}{2}x\right)^3 = \frac{1}{8}x^3, \quad 3\left(\frac{1}{4}x^2\right)y^2 = \frac{3}{4}x^2y^2, \quad 3\left(\frac{1}{2}x\right)y^4 = \frac{3}{2}xy^4, \quad (y^2)^3 = y^6
\]

Kết quả:

\[
\left(\frac{1}{2}x + y^2\right)^3 = \frac{1}{8}x^3 + \frac{3}{4}x^2y^2 + \frac{3}{2}xy^4 + y^6
\]

Tóm lại, các kết quả khai triển của các hằng đẳng thức đã cho là:

a) \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1\)

b) \(8x^3 + 36x^2 + 54x + 27\)

c) \(x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}\)

d) \(x^6 + 6x^4 + 12x^2 + 8\)

e) \(8x^3 + 36xy^2 + 27y^3\)

f) \(\frac{1}{8}x^3 + \frac{3}{4}x^2y^2 + \frac{3}{2}xy^4 + y^6\)