Bài toán này yêu cầu chứng minh một số mối quan hệ trong tam giác ABC. Dưới đây là hướng dẫn cho từng phần bài toán:

a. **Chứng minh BEH = ACB:**

Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng định nghĩa của các góc và các đường trung bình. Nếu ta biết rằng tam giác ABE và ACL có các góc tương ứng.

b. **Chứng minh DH = DC = DA:**

Ta cần chứng minh rằng DH, DC, và DA bằng nhau. Sử dụng tính chất của các đoạn thẳng vuông góc và định lý Pitago sẽ giúp ích trong việc chứng minh các đoạn này.

c. **Lấy B' sao cho H là trung điểm của BB': Chứng minh tam giác AB'C cân:**

Ở đây, ta có thể sử dụng tính chất của trung điểm và các góc tương ứng trong tam giác để chứng minh tính chất này. Cụ thể, nếu B' được chọn sao cho H là trung điểm của BB', thì AB' sẽ bằng AC và các góc sẽ bằng nhau.

d. **Chứng minh AE = HC:**

Ta có thể sử dụng tính chất của các đoạn thẳng, cũng như các mối quan hệ về tỷ lệ giữa các đoạn trong tam giác vuông.

Cần chú ý đến các định lý hình học khác có liên quan, như định lý về các tam giác vuông và các định lý tương ứng khác để giúp cho việc chứng minh trở nên rõ ràng hơn.