Để chứng minh tứ giác ABCD là hình thang khi \( MN = \frac{AB + CD}{2} \), ta làm như sau:

1. **Ký hiệu các điểm:**
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( AD \).
- Gọi \( N \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Sử dụng tính chất trung điểm:**
- Với \( M \) và \( N \) là trung điểm, ta có:
\[
MN = \frac{1}{2} |AD - BC|
\]

3. **Áp dụng giả thiết:**
- Theo giả thiết, ta có:
\[
MN = \frac{AB + CD}{2}
\]
- Từ hai phương trình trên, ta có:
\[
\frac{1}{2} |AD - BC| = \frac{AB + CD}{2}
\]

4. **Suy ra từ công thức:**
- Nhân cả hai vế với 2, ta được:
\[
|AD - BC| = AB + CD
\]

5. **Giải thích:**
- Điều này có nghĩa rằng độ dài hai cạnh đối diện (AD và BC) phải bằng nhau (tức là \( AD = BC \)) để tạo thành một hình thang do điều kiện \( AD \) không song song với \( BC \).

6. **Kết luận:**
- Vì vậy, tứ giác ABCD thỏa mãn tính chất của hình thang, chứng tỏ rằng ABCD là hình thang.

Như vậy, ta đã hoàn thành việc chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang.