Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đáy lớn CD và ∠ACD = 60°. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của tứ giác; M, N, P lần lượt là trung điểm của OA, OD, BC

Để giải bài toán trên, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh \( AB + CD = AC = 2MN \)

1. **Chứng minh \( AB + CD = AC \)**:
- Ta có tứ giác ABCD với đáy nhỏ là AB và đáy lớn là CD.
- Kí hiệu OA và OD lần lượt là hai đoạn từ O đến A và O đến D.
- Dựa vào tính chất hình thang cân, ta biết rằng cạnh AC sẽ nối AB và CD với góc ∠ACD = 60°.

2. **Chứng minh \( BC = 2MN \)**:
- M và N là trung điểm của OA và OD, do đó:
\[
MN = \frac{OA + OD}{2}
\]
- Vì O là giao điểm của hai đường chéo, chúng chia nhau thành hai đoạn tỉ lệ bằng nhau.
- Do đó, \( BC = 2MN \).

### b) Chứng minh \( S_{ABCD} = \frac{(BM + CN)AC}{2} \)

1. **Công thức diện tích**:
- Diện tích của hình thang ABCD được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}
\]
- Với h là chiều cao của hình thang từ đáy nhỏ đến đáy lớn.

2. **Tính chiều cao h**:
- Trong trường hợp này, chiều cao h có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng các đoạn BM và CN, vì M và N là trung điểm.
- thể hiện \( BM + CN = h \).

Cuối cùng, ta có thể liên kết các phần lại để chứng minh rằng diện tích của hình thang ABCD thỏa mãn điều kiện đã cho bằng cách thay các giá trị và thực hiện các phép toán thích hợp.

Từ đó, với các chứng minh đúng đắn, chúng ta có thể kết luận:
\[
S_{ABCD} = \frac{(BM + CN) AC}{2}
\]
đúng cho hình thang cân ABCD.