Để tính \( \cos 75^\circ \), ta sẽ sử dụng công thức về góc phụ nhau. Ta biết rằng:

\[
75^\circ = 90^\circ - 15^\circ
\]

Do đó, ta có:

\[
\cos 75^\circ = \sin 15^\circ
\]

Vậy bây giờ chúng ta cần tính \( \sin 15^\circ \). Có thể sử dụng công thức lượng giác. Ta có:

\[
\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ)
\]

Áp dụng công thức hiệu của sin:

\[
\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b
\]

Với \( a = 45^\circ \) và \( b = 30^\circ \), ta có:

\[
\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ) \cos(30^\circ) - \cos(45^\circ) \sin(30^\circ)
\]

Biết rằng:

- \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)

Thay các giá trị này vào công thức:

\[
\sin(15^\circ) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \right)
\]

\[
= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]

Vậy chúng ta đã có:

\[
\cos 75^\circ = \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]

Như vậy, giá trị của \( \cos 75^\circ \) là \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \).