Áp dụng công thức nhân liên hợp và công thức nghiệm phương trình bậc hai; tìm x biết

Để giải phương trình bậc hai \( \sqrt{6}x^2 + 2(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})x + 24 = 0 \), chúng ta sẽ áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Đầu tiên, chúng ta xác định hệ số của phương trình:

- \( a = \sqrt{6} \)
- \( b = 2(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}) \)
- \( c = 24 \)

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) là:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trước tiên, chúng ta cần tính \( b^2 \) và \( 4ac \):

1. Tính \( b \):
\[
b = 2(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}) = 4\sqrt{3} + 6\sqrt{2}
\]

2. Tính \( b^2 \):
\[
b^2 = (4\sqrt{3} + 6\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 3 + 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{2} + 36 \cdot 2
\]
\[
= 48 + 48\sqrt{6} + 72 = 120 + 48\sqrt{6}
\]

3. Tính \( 4ac \):
\[
4ac = 4 \cdot \sqrt{6} \cdot 24 = 96\sqrt{6}
\]

Bây giờ chúng ta có thể tính \( b^2 - 4ac \):
\[
b^2 - 4ac = (120 + 48\sqrt{6}) - 96\sqrt{6} = 120 - 48\sqrt{6}
\]

Tiếp theo, ta tính \( \sqrt{b^2 - 4ac} \):
\[
\sqrt{b^2 - 4ac} = \sqrt{120 - 48\sqrt{6}}
\]
Giá trị này không dễ tính toán, nhưng chúng ta vẫn có thể tiếp tục sử dụng nó.

Bây giờ chúng ta có tất cả thông tin để tìm nghiệm:
\[
x = \frac{-(4\sqrt{3} + 6\sqrt{2}) \pm \sqrt{120 - 48\sqrt{6}}}{2\sqrt{6}}
\]

Vậy nghiệm của phương trình sẽ là:
\[
x_1 = \frac{-(4\sqrt{3} + 6\sqrt{2}) + \sqrt{120 - 48\sqrt{6}}}{2\sqrt{6}}
\]
\[
x_2 = \frac{-(4\sqrt{3} + 6\sqrt{2}) - \sqrt{120 - 48\sqrt{6}}}{2\sqrt{6}}
\]

Đây là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho.