Để giải phương trình \( \frac{x}{9} = \frac{3}{y} + \frac{1}{18} \), trước tiên chúng ta sẽ đưa cả hai hạng tử về cùng mẫu.

Chúng ta sẽ tính \( \frac{3}{y} + \frac{1}{18} \):

Tìm mẫu chung của \( y \) và \( 18 \):
Mẫu chung là \( 18y \).

Do đó, chúng ta có:

\[
\frac{3}{y} = \frac{3 \cdot 18}{y \cdot 18} = \frac{54}{18y}
\]

Và:

\[
\frac{1}{18} = \frac{1 \cdot y}{18 \cdot y} = \frac{y}{18y}
\]

Kết hợp lại, ta sẽ có:

\[
\frac{3}{y} + \frac{1}{18} = \frac{54 + y}{18y}
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
\frac{x}{9} = \frac{54 + y}{18y}
\]

Tiến hành nhân chéo:

\[
x \cdot 18y = 9(54 + y)
\]

Giải phương trình này:

\[
18xy = 486 + 9y
\]
\[
18xy - 9y = 486
\]
\[
9y(2x - 1) = 486
\]

Chia cả hai bên cho 9:

\[
y(2x - 1) = 54
\]

Vậy \( y \) và \( 2x - 1 \) là các ước số của 54. Ta có thể tìm các cặp \( (y, 2x - 1) \) sao cho tích của chúng bằng 54. Các ước số của 54 là \( 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 \).

Tiến hành kiểm tra từng ước số:

1. **Khi \( y = 1 \) \( \Rightarrow 2x - 1 = 54 \) \( \Rightarrow 2x = 55 \) \( \Rightarrow x = 27.5 \) (không phải số tự nhiên)**
2. **Khi \( y = 2 \) \( \Rightarrow 2x - 1 = 27 \) \( \Rightarrow 2x = 28 \) \( \Rightarrow x = 14 \)**
3. **Khi \( y = 3 \) \( \Rightarrow 2x - 1 = 18 \) \( \Rightarrow 2x = 19 \) \( \Rightarrow x = 9.5 \) (không phải số tự nhiên)**
4. **Khi \( y = 6 \) \( \Rightarrow 2x - 1 = 9 \) \( \Rightarrow 2x = 10 \) \( \Rightarrow x = 5 \)**
5. **Khi \( y = 9 \) \( \Rightarrow 2x - 1 = 6 \) \( \Rightarrow 2x = 7 \) \( \Rightarrow x = 3.5 \) (không phải số tự nhiên)**
6. **Khi \( y = 18 \) \( \Rightarrow 2x - 1 = 3 \) \( \Rightarrow 2x = 4 \) \( \Rightarrow x = 2 \)**
7. **Khi \( y = 27 \) \( \Rightarrow 2x - 1 = 2 \) \( \Rightarrow 2x = 3 \) \( \Rightarrow x = 1.5 \) (không phải số tự nhiên)**
8. **Khi \( y = 54 \) \( \Rightarrow 2x - 1 = 1 \) \( \Rightarrow 2x = 2 \) \( \Rightarrow x = 1 \)**

Vậy ta có các cặp \( (x, y) \) thỏa mãn là:

1. \( (14, 2) \)
2. \( (5, 6) \)
3. \( (2, 18) \)
4. \( (1, 54) \)

Các số tự nhiên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình là \( (14, 2), (5, 6), (2, 18), (1, 54) \).