Để rút gọn biểu thức \( P \) được cho như sau:

\[
P = \left( \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} + 1 \right) \left( \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} - 1 \right)
\]

### Bước 1: Rút gọn từng phần của biểu thức

**Phần 1: Rút gọn \(\frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} + 1\)**

\[
\frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} + 1 = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} + \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}
\]

\[
= \frac{(2 + \sqrt{2}) + (\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2} + 1} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}
\]

**Phần 2: Rút gọn \(\frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} - 1\)**

\[
\frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} - 1 = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1}
\]

\[
= \frac{(2 - \sqrt{2}) - (\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}
\]

### Bước 2: Kết hợp lại biểu thức \( P \)

\[
P = \left( \frac{3 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} \right) \left( \frac{3 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \right)
\]

### Bước 3: Nhân hai phân thức

\[
P = \frac{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}
\]

### Bước 4: Tính giá trị từng phần

**Mẫu số**:

\[
(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1
\]

**Tử số**: Dùng hằng đẳng thức:

\[
(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1
\]

### Kết luận

\[
P = \frac{1}{1} = 1
\]

Vậy, biểu thức rút gọn được là:

\[
P = 1
\]