2/2^2+2/3^2+2/4^2+....+2/(2n+1)^2 với 2. So sánh

Chúng ta cần so sánh biểu thức \( S_n = \sum_{k=2}^{2n+1} \frac{2}{k^2} \) với 2.

Biểu thức này có thể được tính gần đúng bằng cách sử dụng một số kết quả của chuỗi hình học và vi tích phân. Đầu tiên, chúng ta có thể tìm tổng \( S_n \) để có thể nhìn thấy nó có xu hướng như thế nào.

Tổng \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \) là một chuỗi hội tụ (và tổng của nó là \( \frac{\pi^2}{6} \)), nhưng ở đây chúng ta chỉ cần xét phần từ k = 2 đến k = 2n + 1.

Chúng ta có thể ước lượng \( S_n \):

\[
S_n = 2 \left( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{(2n+1)^2} \right)
\]

Ta biết rằng:

\[
\sum_{k=1}^{m} \frac{1}{k^2} \approx \frac{\pi^2}{6} \text{ khi } m \rightarrow \infty
\]

Vì vậy, để tìm giá trị gần đúng của \( S_n \) khi \( n \) lớn, ta có thể dùng ước lượng:

\[
\sum_{k=2}^{2n+1} \frac{1}{k^2} \approx \sum_{k=1}^{2n+1} \frac{1}{k^2} - \frac{1}{1^2} \approx \frac{\pi^2}{6} - 1
\]

Khi \( n \to \infty \), \( S_n \to 2 \left( \frac{\pi^2}{6} - 1 \right) \). Tính giá trị cụ thể, ta thấy rằng \( \frac{\pi^2}{6} \) khoảng 1.64493. Vậy:

\[
S_n \approx 2 \left( 1.64493 - 1 \right) = 2 \cdot 0.64493 \approx 1.28986
\]

Như vậy, khi \( n \) lớn, giá trị của \( S_n \) nằm dưới 2.

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng:

\[
\sum_{k=2}^{2n+1} \frac{2}{k^2} < 2
\]

đối với mọi \( n \geq 1 \).