Để phân tích đa thức \( \frac{1}{8} a^3 + 343 \), ta có thể viết lại biểu thức này như sau:

1. **Nhận diện thành phần**:
- \( \frac{1}{8} a^3 \) có thể viết thành \( \left( \frac{a}{2} \right)^3 \).
- \( 343 \) là \( 7^3 \).

Vì vậy, biểu thức trở thành:
\[
\left( \frac{a}{2} \right)^3 + 7^3
\]

2. **Sử dụng công thức tổng của hai lập phương**:
Công thức tổng của hai lập phương là:
\[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
\]

3. **Áp dụng công thức**:
Ở đây, \( x = \frac{a}{2} \) và \( y = 7 \).
Thay vào công thức:
\[
\left( \frac{a}{2} + 7 \right) \left( \left( \frac{a}{2} \right)^2 - \left( \frac{a}{2} \right)(7) + 7^2 \right)
\]

4. **Thực hiện phép tính**:
- \( \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{a^2}{4} \)
- \( \left( \frac{a}{2} \right)(7) = \frac{7a}{2} \)
- \( 7^2 = 49 \)

Vậy phần bậc hai trở thành:
\[
\frac{a^2}{4} - \frac{7a}{2} + 49
\]

5. **Rút gọn ra kết quả cuối**:
Cuối cùng, ta có biểu thức phân tích:
\[
\frac{1}{8} a^3 + 343 = \left( \frac{a}{2} + 7 \right) \left( \frac{a^2}{4} - \frac{7a}{2} + 49 \right)
\]

Vậy đa thức \( \frac{1}{8} a^3 + 343 \) được phân tích thành:
\[
\left( \frac{a}{2} + 7 \right) \left( \frac{a^2}{4} - \frac{7a}{2} + 49 \right)
\]