4/51^2+4/52^2+4/53^2+....+4/n^2 với 2/25 So sánh

Chúng ta cần so sánh tổng \( S = \sum_{k=51}^{n} \frac{4}{k^2} \) với \( \frac{2}{25} \).

Đầu tiên, hãy phân tích tổng \( S \):

Tổng này có thể được viết lại như sau:

\[
S = 4 \sum_{k=51}^{n} \frac{1}{k^2}
\]

Bây giờ, hãy sử dụng bất đẳng thức để đưa ra một so sánh.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho chúng ta biết rằng:

\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \leq \frac{\pi^2}{6} \text{ (tổng nổi tiếng này được biết đến là hội tụ và có giá trị)}.
\]

Vì \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \) nên

\[
\sum_{k=51}^{n} \frac{1}{k^2} \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.64493.
\]

Vì vậy,

\[
S \leq 4 \cdot 1.64493 \approx 6.57972.
\]

Do đó, chúng ta cần tìm tổng \( \sum_{k=51}^{n} \frac{1}{k^2} \) để so sánh với \( \frac{2}{25} = 0.08 \).

Để tính toán, ta có thể ước lượng bằng cách kiểm tra số hạng đầu tiên:

\[
\frac{1}{51^2} + \frac{1}{52^2} + \frac{1}{53^2} + \dots
\]

Vì các số hạng có thể coi là gần nhau và nhỏ dần, ta có thể sử dụng phương pháp tích phân để tiếp cận giá trị. Không tính chính xác từng đủ số hạng, ta có thể nhận thấy rằng khi \( n \) lớn, tổng \( \sum_{k=51}^{n} \frac{1}{k^2} \) sẽ tích lũy giá trị.

Từ các ước lượng, có thể thấy rằng đối với \( n \) khá nhỏ, tổng \( S \) vẫn chiếm một giá trị nhỏ, nhưng khi \( n \) lớn, \( S \) sẽ lớn hơn \( \frac{2}{25} \).

Đ để so sánh chi tiết hơn, hãy cố gắng ước tính thêm nếu \( n = 100 \). Một số hạng khi \( n = 100 \):

\[
\sum_{k=51}^{100} \frac{1}{k^2} \approx 0.08 \text{ để so sánh với } \frac{2}{25}.
\]

Tùy thuộc vào \( n \), tổng này vẫn có thể nhỏ hơn \( \frac{2}{25} \) cho các \( n \) nhỏ nhưng sẽ lớn hơn khi \( n \) đủ lớn.

Nếu bạn cần một so sánh cụ thể cho giá trị nào đó, hãy cho biết thêm thông tin về \( n \).