Để tính độ dài \( BC \) và chứng minh tứ giác \( BMNC \) là hình thang, ta tiến hành như sau:

1. **Tính độ dài \( BC \)**:
- Vì \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \), theo định lý trung điểm, ta có:
\[
AB = c, \quad AC = b \quad (c, b \text{ là độ dài của hai cạnh tương ứng})
\]
- Độ dài \( MN \) được tính bằng công thức trung điểm:
\[
MN = \frac{1}{2} BC \implies BC = 2 \cdot MN = 2 \cdot 3.5 = 7 \text{ cm}
\]

2. **Chứng minh tứ giác \( BMNC \) là hình thang**:
- Ta có \( M \) và \( N \) là trung điểm của hai cạnh \( AB \) và \( AC \).
- Do đó, ta dễ dàng nhận thấy hai đoạn thẳng \( MB \) và \( NC \) sẽ song song với nhau. Vì hai đoạn thẳng này nằm trên hai cặp cạnh tương ứng của tam giác \( ABC \).
- Cụ thể:
\[
MB \parallel NC
\]
- Khi đó, theo định nghĩa hình thang, tứ giác \( BMNC \) có hai cạnh đối song song, vì vậy \( BMNC \) chính là hình thang.

Kết luận: Độ dài \( BC = 7 \text{ cm} \) và tứ giác \( BMNC \) là hình thang.