Để thực hiện phép chia đa thức \((X^4 - 2X^3 - 1 + 2X)\) cho \((X^2 - 1)\), chúng ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Sắp xếp các đa thức**:
Ta có đa thức chia là \(X^4 - 2X^3 + 2X - 1\).
Đa thức chia là \(X^2 - 1\).

2. **Chia từng phần**:
- Bước đầu tiên là chia \(X^4\) cho \(X^2\):
\[
X^4 \div X^2 = X^2
\]
- Nhân \(X^2\) với \(X^2 - 1\):
\[
X^2 \cdot (X^2 - 1) = X^4 - X^2
\]
- Trừ kết quả trên khỏi đa thức đầu vào:
\[
(X^4 - 2X^3 + 2X - 1) - (X^4 - X^2) = -2X^3 + X^2 + 2X - 1
\]

3. **Tiếp tục chia**:
- Bây giờ thực hiện phép chia \(-2X^3\) cho \(X^2\):
\[
-2X^3 \div X^2 = -2X
\]
- Nhân \(-2X\) với \(X^2 - 1\):
\[
-2X \cdot (X^2 - 1) = -2X^3 + 2X
\]
- Trừ kết quả này khỏi đa thức hiện tại:
\[
(-2X^3 + X^2 + 2X - 1) - (-2X^3 + 2X) = X^2 - 1
\]

4. **Chia phần còn lại**:
- Bây giờ chia \(X^2\) cho \(X^2\):
\[
X^2 \div X^2 = 1
\]
- Nhân \(1\) với \(X^2 - 1\):
\[
1 \cdot (X^2 - 1) = X^2 - 1
\]
- Trừ kết quả này khỏi phần còn lại:
\[
(X^2 - 1) - (X^2 - 1) = 0
\]

Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng:

\[
(X^4 - 2X^3 - 1 + 2X) \div (X^2 - 1) = X^2 - 2X + 1
\]

Và phần dư là \(0\). Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\frac{X^4 - 2X^3 - 1 + 2X}{X^2 - 1} = X^2 - 2X + 1
\]