Đây là một bài toán hình học với nhiều yêu cầu chứng minh khác nhau theo các bước. Dưới đây là hướng dẫn cho từng câu hỏi trong bài 21.

### Bài 21:
Cho ΔABC vuông tại C có ∠A = 60°.
- Gọi AB là cạnh huyền, AC và BC là hai cạnh góc vuông.

**a)** Chứng minh: \( AE \) là tia phân giác của \( ∠ABK \).

- Sử dụng định nghĩa tia phân giác và tính chất của góc. Cần chứng minh rằng việc chia góc \( ∠ABK \) theo tỷ lệ bằng nhau giữa các cặp cạnh.

**b)** Chứng minh: \( K \) là trung điểm của \( AB \) và \( AB = 2AC \).

- Sử dụng định lý sin và tính chất của các cạnh trong tam giác vuông với góc 60° để chứng minh quan hệ giữa các cạnh.

**c)** Chứng minh: \( EB < AC \).

- Dựa vào tính chất của hình thang với đường cao là đoạn thẳng vuông góc và xét các độ dài của các đoạn thẳng để so sánh.

**d)** Kẻ \( BD \) tại \( E \). Gọi \( I \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \). Chứng minh \( ΔAGB \) đều.

- Cần chứng minh rằng \( AG = AB = GB \). Sử dụng các tính chất của tam giác và định lý về đường chéo của hình thang.

**e)** Chứng minh rằng \( CM = CN \) với điều kiện \( CM = \frac{1}{2} NA \).

- Sử dụng tính chất của trung điểm và đường phân giác để chỉ ra mối quan hệ giữa các đoạn thẳng.

---

### Bài 22:
Cho \( ΔMNP \) tại \( M \) có \( MN = 6cm; MP = 4.5cm \).

**a)** So sánh độ lớn của \( ΔMNP \).

- Có thể sử dụng định lý bất đẳng thức tam giác hoặc tính chất góc để so sánh thông tin.

**b)** Trên tia đối của tia \( PM \), lấy điểm \( A \) sao cho \( P \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AM \).

- Chứng minh rằng \( CMP = CPA \) để thể hiện mối quan hệ giữa các đoạn thẳng.

**c)** Chứng minh \( CM = CN \).

- Dựa vào tính chất của các đoạn thẳng và sự tương ứng giữa chúng.

### Bài 23:
Cho \( ΔABC \) can tại \( A \). Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn \( AC \).

- Sử dụng tính chất của đoạn thẳng để chứng minh quan hệ.

### Bài 24:
Cho \( ΔABC \) với \( AB = 10cm, BC = 12cm \).

- Chứng minh bằng cách sử dụng các định lý hình học về cạnh và góc trong tam giác.

---

Để chứng minh chính xác một cách chi tiết, bạn có thể cần thực hiện các phép tính hình học và sử dụng các định lý liên quan trong bài toán.