Cho tam giác ABC lấy Q, P trên BC sao cho BQ=QP=PC lấy M trên AQ sao cho AM = MQ lấy N trên AP sao cho AN=NP . Biết SMNPQ= 45 cm2 tính SABC

Để tính diện tích tam giác ABC, chúng ta có thể sử dụng các tỷ lệ giữa các đoạn thẳng và diện tích của các tam giác con.

Gọi các đoạn BC, AC, AB lần lượt là \(a\), \(b\), \(c\). Theo giả thiết, ta có:

- \(BQ = QP = PC\), điều này có nghĩa là \(BC\) được chia thành 3 phần bằng nhau. Khi đó, tỷ lệ chiều dài đoạn \(BQ\), \(QP\) và \(PC\) là \(1:1:1\).
- Đặt \(BQ = QP = PC = x\). Khi đó, \(BC = 3x\).
- \(AM = MQ\) và \(AN = NP\) cho thấy hai đoạn này cũng chia đoạn \(AQ\) và \(AP\) thành hai phần bằng nhau.

Vì \(S_{MNPQ} = 45 \text{ cm}^2\), chúng ta có thể sử dụng tỷ lệ diện tích. Diện tích của các tam giác nhỏ sẽ có tỷ lệ với các đoạn trực tiếp từ các đỉnh đến các điểm trung điểm của các cạnh.

Các tam giác con \(AMN\), \(BMN\), \(CPN\), và \(ABC\) sẽ có tỷ lệ diện tích như sau:

- Diện tích tam giác \(AMN\) là \( \frac{1}{4} \) diện tích tam giác \(AQB\) và cũng là \( \frac{1}{4} \) diện tích tam giác \(APC\), vì MA = AM và AN = NP.
- Diện tích tam giác \(ABM\), \(BCN\) và \(CAP\) sẽ phụ thuộc vào các tỷ lệ tương ứng, nhưng chúng ta chú ý rằng tổng diện tích các tam giác nhỏ hơn sẽ bằng tổng diện tích tam giác lớn.

Do \(S_{MNPQ} = 45\) cm² là diện tích của các tam giác \(AMN\) và tương ứng với 1 phần của diện tích tam giác lớn \(S_{ABC}\).

Vì \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(AQ\) và \(AP\), ta có thể nói rằng:
\[
S_{ABC} = 3 \times S_{MNPQ} = 3 \times 45 = 135 \text{ cm}^2.
\]

Vậy diện tích tam giác \(S_{ABC}\) là \(135 \, \text{cm}^2\).